第五节三角函数的图象与性质A组基础题组1.y=|cosx|的一个单调增区间是()A.B.[0,π]C.D.2.下列函数中,周期为π,且在上为减函数的是()A.y=sinB.y=cosC.y=sinD.y=cos3.设函数f(x)=sin-cos的图象关于原点对称,则角θ=()A.-B.C.-D.4.已知函数f(x)=3cos在上的最大值为M,最小值为m,则M+m等于()A.0B.3+C.3-D.5.已知函数f(x)=sin-1(ω>0)的最小正周期为,则f(x)的图象的一条对称轴方程是()A.x=B.x=C.x=D.x=6.设函数f(x)=cos,则下列结论错误的是()A.f(x)的一个周期为-2πB.y=f(x)的图象关于直线x=对称C.f(x+π)的一个零点为x=D.f(x)在单调递减7.函数y=tan的图象与x轴交点的坐标是.8.(2017北京房山一模,15)已知函数f(x)=sin(ω>0)的图象与x轴的相邻两个交点的距离为.(1)求ω的值;(2)设函数g(x)=f(x)+2cos2x-1,求g(x)在区间上的最大值和最小值.B组提升题组9.已知函数f(x)=sin(x-φ),且f(x)dx=0,则函数f(x)的图象的一条对称轴是()A.x=B.x=C.x=D.x=10.同时具有性质:“①最小正周期是π;②图象关于直线x=对称;③在区间上单调递增”的一个函数是()A.y=cosB.y=sinC.y=cosD.y=sin11.(2017北京朝阳二模,4)已知函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为4π,则()A.函数f(x)的图象关于原点对称B.函数f(x)的图象关于直线x=对称C.函数f(x)图象上的所有点向右平移个单位长度后,所得的图象关于原点对称D.函数f(x)在区间(0,π)上单调递增12.已知点A,B,C,若这三个点中有且仅有两个点在函数f(x)=sinωx的图象上,则正数ω的最小值为.13.(2018北京东城期中,15)设函数f(x)=cosωx(sinωx+cosωx),其中0<ω<2.(1)若f(x)的最小正周期为π,求f(x)的单调递增区间;(2)若函数f(x)的图象的一条对称轴为x=,求ω的值.答案精解精析A组基础题组1.D作出y=|cosx|的图象(如图).易知是y=|cosx|的一个单调增区间.故选D.2.A由于函数周期为π,所以排除C,D;对于A,由2kπ+≤2x+≤2kπ+,k∈Z.得单调减区间为(k∈Z).显然⫋(k∈Z).故选A.3.D∵f(x)=2sin,且f(x)的图象关于原点对称,∴f(0)=2·sin=0,即sin=0,∴θ-=kπ(k∈Z),即θ=+kπ(k∈Z),又|θ|<,∴θ=.4.C∵x∈,∴2x-∈,∴cos∈,∴f(x)∈,∴M+m=3-.5.A依题意,得=,|ω|=3,又ω>0,所以ω=3,令3x+=kπ+(k∈Z),解得x=+(k∈Z),当k=0时,x=.因此函数f(x)的图象的一条对称轴方程是x=.6.Df(x)的最小正周期为2π,易知A正确;f=cos=cos3π=-1,为f(x)的最小值,故B正确;∵f(x+π)=cos=-cos,∴f=-cos=-cos=0,故C正确;由于f=cos=cosπ=-1,为f(x)的最小值,故f(x)在上不单调,故D错误.7.答案,k∈Z解析令2x+=kπ(k∈Z)得,x=-(k∈Z).∴函数y=tan的图象与x轴交点的坐标是,k∈Z.8.解析(1)由题意可得=,则T=π,∴T==π,∴|ω|=2,∵ω>0,∴ω=2.(2)由(1)知f(x)=sin,∴g(x)=sin+2cos2x-1=sin2xcos-cos2xsin+2cos2x-1=sin2x-cos2x+cos2x=sin2x+cos2x=sin.∵0≤x≤,∴0≤2x≤π,∴≤2x+≤,∴当2x+=,即x=时,g(x)取得最大值,为1,当2x+=,即x=时,g(x)取得最小值,为-.B组提升题组9.A由f(x)dx=sin(x-φ)dx=-cos(x-φ)=-cos+cosφ=0,得cosφ=sinφ,从而有tanφ=,则φ=nπ+,n∈Z,从而有f(x)=sin=(-1)n·sin,n∈Z.令x-=kπ+,k∈Z,得x=kπ+,k∈Z,即f(x)的图象的对称轴是x=kπ+,k∈Z,故选A.10.D由①可排除A,由②可排除C,对于B,令2kπ-≤2x+π≤2kπ+,k∈Z,得kπ-π≤x≤kπ-,k∈Z,故y=sin的递增区间为,k∈Z,故排除B,故选D.11.C∵T==4π,∴ω=,∴f(x)=sin.A选项,令+=kπ,k∈Z,则x=-+2kπ,k∈Z,故函数f(x)=sin的对称中心为,k∈Z,不包括原点,所以A错.B选项,令+=+kπ,k∈Z,则x=+2kπ,k∈Z,故函数f(x)的对称轴为x=+2kπ,k∈Z,不包括直线x=,所以B错.C选项,平移后,所得函数g(x)=sin=sin的图象关于原点对称,所以C正确.D选项,令-+2kπ≤x+≤+2kπ,k∈Z,则-+4kπ≤x≤+4kπ,k∈Z,所以函数f(x)=sin的单调递增区间为(k∈Z),不包括(0,π),所以D错误.12.答案4解析若A在f(x)的图象上,则ω=2kπ+,k∈Z,则ω=6kπ+π,k∈Z,则f=0,则C在f(x)的图象上,若B在f(x)的图象上,同理可知C在f(x)的图象上,只有A、C或B、C同时在函数图象上.若ω=2,则A、B、C三点均在函数图象上,所以ω≠2.若B、C在,A不在,则需满足sin=1,则ω=2kπ+(k∈Z),解得ω=8k+2(k∈Z),所以正数ω的最小值为10.若A、C在,B不在,则需满足sin=,则ω=+2kπ(k∈Z)或ω=+2kπ(k∈Z),解得ω=12k+2(k∈Z)或ω=12k+4(k∈Z),所以正数ω的最小值为4.综上,正数ω的最小值为4.13.解析(1)f(x)=cosωx(sinωx+cosωx)=sinωxcosωx+cos2ωx=·sin2ωx+cos2ωx+=·sin+,∵f(x)的最小正周期是π,∴T==π,ω=1,∴f(x)=sin+,令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,∴f(x)的单调增区间为,k∈Z.(2)∵x=是f(x)的一条对称轴,∴·ω+=+kπ,k∈Z,∴ω=+,k∈Z,又0<ω<2,∴ω=或.
