课时作业46立体几何中的向量方法1．如图，三棱锥PABC中，底面△ABC为直角三角形，AB＝BC＝2，D为AC的中点，PD＝DB，PD⊥DB，PB⊥CD
(1)求证：PD⊥平面BCD；(2)求PA与平面PBC所成角的正弦值．解：(1)证明： 在直角三角形ABC中，AB＝BC＝2，D为AC的中点，∴BD⊥CD，又 PB⊥CD，BD∩PB＝B，∴CD⊥平面PBD，∴CD⊥PD
又 PD⊥BD，BD∩CD＝D，∴PD⊥平面BCD
(2)以D为坐标原点，DA，DB，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，则A(，0,0)，B(0，，0)，C(－，0,0)，P(0,0，)
PA＝(，0，－)，PB＝(0，，－)，CB＝(，，0)．设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，由得取x＝1，得y＝－1，z＝－1，∴n＝(1，－1，－1)． cos〈PA，n〉＝＝，∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为
2．(2019·全国卷Ⅲ)图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°
将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2
(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；(2)求图2中的二面角BCGA的大小．解：(1)证明：由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，故AB⊥平面BCGE
又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE
(2)作EH⊥BC，垂足为H
因为EH⊂平面BCGE，平面BCGE⊥平面ABC，所以EH⊥平面ABC
由已知，菱形BCGE的边长为2，∠EBC＝60°，可求得BH＝1，EH＝
以H为坐标原点，HC的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐
