课时作业46立体几何中的向量方法1．如图，三棱锥PABC中，底面△ABC为直角三角形，AB＝BC＝2，D为AC的中点，PD＝DB，PD⊥DB，PB⊥CD.(1)求证：PD⊥平面BCD；(2)求PA与平面PBC所成角的正弦值．解：(1)证明： 在直角三角形ABC中，AB＝BC＝2，D为AC的中点，∴BD⊥CD，又 PB⊥CD，BD∩PB＝B，∴CD⊥平面PBD，∴CD⊥PD.又 PD⊥BD，BD∩CD＝D，∴PD⊥平面BCD.(2)以D为坐标原点，DA，DB，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，则A(，0,0)，B(0，，0)，C(－，0,0)，P(0,0，).PA＝(，0，－)，PB＝(0，，－)，CB＝(，，0)．设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，由得取x＝1，得y＝－1，z＝－1，∴n＝(1，－1，－1)． cos〈PA，n〉＝＝，∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为.2．(2019·全国卷Ⅲ)图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2.(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；(2)求图2中的二面角BCGA的大小．解：(1)证明：由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，故AB⊥平面BCGE.又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE.(2)作EH⊥BC，垂足为H.因为EH⊂平面BCGE，平面BCGE⊥平面ABC，所以EH⊥平面ABC.由已知，菱形BCGE的边长为2，∠EBC＝60°，可求得BH＝1，EH＝.以H为坐标原点，HC的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz，则A(－1,1,0)，C(1,0,0)，G(2,0，)，CG＝(1,0，)，AC＝(2，－1,0)．设平面ACGD的法向量为n＝(x，y，z)，则即所以可取n＝(3,6，－)．又平面BCGE的法向量可取为m＝(0,1,0)，所以cos〈n，m〉＝＝.因此二面角BCGA的大小为30°.3．如图，三棱台ABCEFG的底面是正三角形，平面ABC⊥平面BCGF，CB＝2GF，BF＝CF.(1)求证：AB⊥CG；(2)若BC＝CF，求直线AE与平面BEG所成角的正弦值．解：(1)证明：取BC的中点为D，连接DF，如图．由题意得，平面ABC∥平面EFG，平面ABC∩平面BCGF＝BC，平面EFG∩平面BCGF＝FG，从而BC∥FG. CB＝2GF，∴CD綊GF，∴四边形CDFG为平行四边形，∴CG∥DF. BF＝CF，D为BC的中点，∴DF⊥BC，∴CG⊥BC. 平面ABC⊥平面BCGF，且平面ABC∩平面BCGF＝BC，CG⊂平面BCGF，∴CG⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，∴CG⊥AB.(2)连接AD.由△ABC是正三角形，且D为BC的中点得，AD⊥BC.由(1)知，CG⊥平面ABC，CG∥DF，∴DF⊥AD，DF⊥BC，∴DB，DF，DA两两垂直．以D为坐标原点DB，DF，DA所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz.设BC＝2，则A(0,0，)，B(1,0,0)，F(0，，0)，G(－1，，0)，∴BG＝(－2，，0)． CB＝2GF，∴AB＝2EF，∴E，∴AE＝，BE＝.设平面BEG的法向量为n＝(x，y，z)，由可得，令x＝，则y＝2，z＝－1，∴n＝(，2，－1)为平面BEG的一个法向量．设AE与平面BEG所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈AE，n〉|＝＝.∴直线AE与平面BEG所成角的正弦值为.4．(2019·北京卷)如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA＝AD＝CD＝2，BC＝3.E为PD的中点，点F在PC上，且＝.(1)求证：CD⊥平面PAD；(2)求二面角FAEP的余弦值；(3)设点G在PB上，且＝.判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．解：(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD.又因为AD⊥CD，PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD.(2)过A作AD的垂线交BC于点M.因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AM，PA⊥AD.如图建立空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(2，－1，0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)．因为E为PD的中点，所以E(0,1,1)．所以AE＝(0,1,1)，PC＝(2,2，－2)，AP＝(0,0,2)．所以PF＝PC＝，AF＝AP＋PF＝.设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)，则即令z＝1，则y＝－1，x＝－1.于是n＝(－1，－1,1)．又因为平面PAD的法向量为p＝(1,0,0)，所以cos〈n，p〉＝＝－.由题知，二面角FAEP为锐二面角，所以其余弦值为.(3)直线AG在平面AEF内．因为点G在PB上，且＝，PB＝(2，－1，－2)，所以PG＝PB＝，AG＝AP＋PG＝.由(2)知，平面AEF的法向量n＝(－1，－1,1)．所以AG·n＝－＋＋＝0.所以直线AG在平...
