高三必过关题4数列（1）考点一：等差数列的性质例1：在等差数列中，若，则﹦答案：8提示：方法一：回归到基本量、；方法二 数列是等差数列，∴由得，．∴．例2：等差数列{}前n项和为，已知+-=0，=38,则_______．答：10提示：等差数列的性质.由+-=0得到或，例3已知命题：“在等差数列中，若，则为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为．答：18提示：由知为定值，将用表示成，所以，得.例4：设是等差数列的前n项和，若，则．答：提示：得，.例5：等差数列{an}的公差为d，关于x的不等式的解集为[0,22]，则使数列{an}的前n项和Sn最大的正整数n的值是．答：11提示：由已知得d<0，c＝0，a1＝－d，令通项an＝d>0，得n<11.5，于是数列的前11项为正数，故所求最大的正整数n的值是11.例6：设等差数列的前项和为，，当=时，取得最大值．答：6提示：法一：由题意得，由单调性可知最大；法二：由Sn为n的二次函数，，可得，对称轴为，所以最大.例7：已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是________．答：5个提示：由等差数列的前n项和及等差中项，可得故，为整数．例8：设是等差数列的前项和，已知则=__________.答：18提示：，，例9：在等差数列中，若它的前n项和有最大值，则使取得最小正数的．答：19提示：等差数列前n项和有最大值，，，由，，,例10：已知数列是以为公差的等差数列，是其前项和，若是数列中的唯一最大项，则数列的首项的取值范围是．答：提示：中有最大项，，是数列中的唯一最大项，例11：给定81个数排成如右图的数表，若每行9个数与每列的9个数按表中顺序构成等差数列，且表中正中间一个数a55＝5，则表中所有数之和为___________．答：405提示：记所有数之和为S，则．.考点二：等比数列的性质例12已知等比数列满足，且，则当a11a12…a19a21a22…a29…………a91a92…a99时，．答：提示：由得，，则，故例13：已知成等差数列，成等比数列，则的值是__________．答：提示：成等差数列，，成等比数列，，又，例14：在等比数列中,,前项和为,若数列（）也是等比数列,则等于__________．答：提示：方法一：设等比数列的公比为，数列（）也是等比数列，则成等比，代入首相和公比可得到，所以方法二：数列成等比，则、、成等比，得，又因为数列为等比数列，所以为常数数列例15：等比数列的公比为，其前项的积为，并且满足条件，，.给出下列结论：①；②；③的值是中最大的；④使成立的最大自然数等于，其中正确的结论是__________．答：①②④提示：由a1>1，a99a100－1>0，得,又.得，，所以①成立，，所以②成立，是Tn中最大的，所以③错误，，，所以④成立考点三：等差、等比数列的性质例16：设等比数列的公比为，前项和为，若成等差数列，则＝.答：提示：当时，，，成等差，不成立，当时利用计算求解例17：设数列前项和为（），关于数列有下列命题：（1）若则既是等差数列又是等比数列；（2）若，则为等差数列；（3）若为等比数列，则成等比数列；（4）若则是等比数列；其中正确的命题是．答：（2）（4）提示：（1）中，每项为0时，不是等比数列；（3）中为1，-1,1，-1是反例．例18：等差数列有如下性质：若数列为等差数列，则当时，数列也是等差数列；类比上述性质，若为正项等比数列，则当时，数列也是等比数列．答：提示：类比推理.考点四：等差、等比数列的综合例19：设等差数列的前项和为，若，则的最大值为_________．答：提示：解法一 等差数列的前项和为，且∴即∴∴，，∴故的最大值为解法二：利用线性规划例20：已知各项均为正数的等比数列，若，则的最小值为_________．答：提示：，得到，从而，再用导数法求出最小值（可先换元）．二、解答题例21：已知等差数列前三项的和为，前三项的积为.（1）求等差数列的通项公式;（2）若,,成等比数列，求数列的前项和.解析:(1)设等差数列的公差为,则,,由题意得解得或所以由等差数列通项公式可得,或.(2)当时,,,分别为,,,不成等比数列;当时,,,分别为,,,成等比数列,满足条件.故,记数列的前项和为.当时,;当时,;当时,.当时,满足此式.综上,例22：设等差数列的前项和...
