高考数学一轮复习 第六章 数列 课时达标检测（三十一）数列求和与数列的综合问题-人教版高三数学试题VIP免费

课时达标检测(三十一）数列求和与数列的综合问题一、全员必做题1．(2017·山东高考)已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1＋x2＝3，x3－x2＝2.(1)求数列{xn}的通项公式；(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连结点P1(x1，1)，P2(x2,2)，…，Pn＋1(xn＋1，n＋1)得到折线P1P2…Pn＋1，求由该折线与直线y＝0，x＝x1，x＝xn＋1所围成的区域的面积Tn.解：(1)设数列{xn}的公比为q，由已知得q＞0.由题意得所以3q2－5q－2＝0.因为q＞0，所以q＝2，x1＝1，因此数列{xn}的通项公式为xn＝2n－1.(2)过P1，P2，…，Pn＋1向x轴作垂线，垂足分别为Q1，Q2，…，Qn＋1.由(1)得xn＋1－xn＝2n－2n－1＝2n－1，记梯形PnPn＋1Qn＋1Qn的面积为bn，由题意得bn＝×2n－1＝(2n＋1)×2n－2，所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝3×2－1＋5×20＋7×21＋…＋(2n－1)×2n－3＋(2n＋1)×2n－2.①又2Tn＝3×20＋5×21＋7×22＋…＋(2n－1)×2n－2＋(2n＋1)×2n－1.②①－②得－Tn＝3×2－1＋(2＋22＋…＋2n－1)－(2n＋1)×2n－1＝＋－(2n＋1)×2n－1.所以Tn＝.2．(2018·泰州调研)对于数列{xn}，若对任意n∈N*，都有＜xn＋1成立，则称数列{xn}为“减差数列”．设数列{an}是各项都为正数的等比数列，其前n项和为Sn，且a1＝1，S3＝.(1)求数列{an}的通项公式，并判断数列{Sn}是否为“减差数列”；(2)设bn＝(2－nan)t＋an，若数列b3，b4，b5，…是“减差数列”，求实数t的取值范围．解：(1)设数列{an}的公比为q，因为a1＝1，S3＝，所以1＋q＋q2＝，即4q2＋4q－3＝0，所以(2q－1)(2q＋3)＝0.因为q＞0，所以q＝，所以an＝，Sn＝＝2－，所以＝2－－＜2－＝Sn＋1，所以数列{Sn}是“减差数列”．(2)由题设知，bn＝t＋＝2t－.由＜bn＋1(n≥3，n∈N*)，得t－＋t－＜2t－，即＋＞，化简得t(n－2)＞1.又当n≥3时，t(n－2)＞1恒成立，即t＞恒成立，所以t＞max＝1.故实数t的取值范围是(1，＋∞)．3．已知二次函数y＝f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f′(x)＝6x－2，数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图象上．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，试求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)设二次函数f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.由于f′(x)＝6x－2，得a＝3，b＝－2，所以f(x)＝3x2－2x.又因为点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图象上，所以Sn＝3n2－2n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n2－2n)－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5.当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＝1＝6×1－5，所以an＝6n－5(n∈N*)．(2)由(1)得bn＝＝＝，故Tn＝1－＋＋…＋－＝＝.二、重点选做题1．(2017·北京高考)设{an}和{bn}是两个等差数列，记cn＝max{b1－a1n，b2－a2n，…，bn－ann}(n＝1,2，3，…)，其中max{x1，x2，…，xs}表示x1，x2，…，xs这s个数中最大的数．(1)若an＝n，bn＝2n－1，求c1，c2，c3的值，并证明{cn}是等差数列；(2)证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时，＞M；或者存在正整数m，使得cm，cm＋1，cm＋2，…是等差数列．解：(1)c1＝b1－a1＝1－1＝0，c2＝max{b1－2a1，b2－2a2}＝max{1－2×1,3－2×2}＝－1，c3＝max{b1－3a1，b2－3a2，b3－3a3}＝max{1－3×1，3－3×2,5－3×3}＝－2.当n≥3时，(bk＋1－nak＋1)－(bk－nak)＝(bk＋1－bk)－n(ak＋1－ak)＝2－n＜0，所以bk－nak关于k∈N*单调递减．所以cn＝max{b1－a1n，b2－a2n，…，bn－ann}＝b1－a1n＝1－n.所以对任意n≥1，cn＝1－n，于是cn＋1－cn＝－1，所以{cn}是等差数列．(2)证明：设数列{an}和{bn}的公差分别为d1，d2，则bk－nak＝b1＋(k－1)d2－[a1＋(k－1)d1]n＝b1－a1n＋(d2－nd1)(k－1)．所以cn＝①当d1＞0时，取正整数m＞，则当n≥m时，nd1＞d2，因此cn＝b1－a1n.此时，cm，cm＋1，cm＋2，…是等差数列．②当d1＝0时，对任意n≥1，cn＝b1－a1n＋(n－1)max{d2,0}＝b1－a1＋(n－1)(max{d2,0}－a1)．此时，c1，c2，c3，…，cn，…是等差数列．③当d1＜0时，当n＞时，有nd1＜d2.所以＝＝n(－d1)＋d1－a1＋d2＋≥n(－d1)＋d1－a1＋d2－|b1－d2|.对任意正数M，取正整数m＞max，故当n≥m时，＞M.2．(2018·江苏名校联考)如果一个数列从第2项起，每一项与...