课时跟踪检测（三十三）数列的综合应用一保高考，全练题型做到高考达标1．在数列{an}中，a1＝1，数列{an＋1－3an}是首项为9，公比为3的等比数列．(1)求a2，a3；(2)求数列的前n项和Sn.解：(1)∵数列{an＋1－3an}是首项为9，公比为3的等比数列，∴an＋1－3an＝9×3n－1＝3n＋1，∴a2－3a1＝9，a3－3a2＝27，∴a2＝12，a3＝63.(2)∵an＋1－3an＝3n＋1，∴－＝1，∴数列是首项为，公差为1的等差数列，∴数列的前n项和Sn＝＋＝.2．(2016·苏北四市调研)已知数列{an}为等差数列，a1＝1，公差d>0，数列{bn}为等比数列，且a2＝b1，a6＝b2，a18＝b3.(1)求数列{an}和数列{bn}的通项公式；(2)设数列{cn}满足对任意正整数n均有＋＋…＋＝a，m为正整数，求所有满足不等式1020，a1＝1，{an}为等差数列，所以a1＝d＝1，an＝n，又b1＝2，b2＝6，b3＝18，{bn}为等比数列，所以bn＝2·3n－1.(2)因为＋＋…＋＝n2，当n＝1时，＝，c1＝1，当n≥2时，两式相减得cn＝(2n－1)·3n－1，又n＝1时也符合上式，所以cn＝(2n－1)·3n－1，n∈N*，cn＝(2n－1)·3n－1>0，c1＝1，c1＋c2＝10，c1＋c2＋c3＝55，c1＋c2＋c3＋c4＝244，c1＋c2＋c3＋c4＋c5＝973，c1＋c2＋c3＋c4＋c5＋c6＝3646，所以m＝4或5.3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S3＝6，正项数列{bn}满足b1·b2·b3·…·bn＝2Sn.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)若λbn>an对n∈N*均成立，求实数λ的取值范围．解：(1)∵a1＝1，S3＝6，∴3a1＋3d＝6，∴数列{an}的公差d＝1，an＝n.由题知，①÷②得bn＝2Sn－Sn－1＝2an＝2n(n≥2)，又b1＝2S1＝21＝2，满足上式，故bn＝2n.(2)λbn>an恒成立⇒λ>恒成立，设cn＝，当n≥2时，cn<1，数列{cn}单调递减，∴(cn)max＝，故λ>.所以实数λ的取值范围为.4．数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，Sn为其前n项和．数列{bn}为等差数列，且满足b1＝a1，b4＝S3.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设cn＝，数列{cn}的前n项和为Tn，证明：≤Tn<.解：(1)由题意知，{an}是首项为1，公比为2的等比数列，∴an＝a1·2n－1＝2n－1.∴Sn＝2n－1.设等差数列{bn}的公差为d，则b1＝a1＝1，b4＝1＋3d＝7，∴d＝2，bn＝1＋(n－1)×2＝2n－1.(2)证明：∵log2a2n＋2＝log222n＋1＝2n＋1，∴cn＝＝＝，∴Tn＝＝＝.∵n∈N*，∴Tn＝<，当n≥2时，Tn－Tn－1＝－＝>0，∴数列{Tn}是一个递增数列，∴Tn≥T1＝.综上所述，≤Tn<.二上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2016·南京师大附中调研)对于数列{xn}，若对任意n∈N*，都有0，所以q＝，所以an＝，Sn＝＝2－，所以＝2－－<2－＝Sn＋1，所以数列{Sn}是“减差数列”．(2)由题设知，bn＝t＋＝2t－.由，化简得t(n－2)>1.又当n≥3时，t(n－2)>1恒成立，即t>恒成立，所以t>max＝1.故t的取值范围是(1，＋∞)．2．(2016·南通一调)已知数列{an}是等比数列，且an＞0.(1)若a2－a1＝8，a3＝m.①当m＝48时，求数列{an}的通项公式；②若数列{an}是唯一的，求m的值；(2)若a2k＋a2k－1＋…＋ak＋1－(ak＋ak－1＋…＋a1)＝8，k∈N*，求a2k＋1＋a2k＋2＋…＋a3k的最小值．解：设数列{an}的公比为q，则由题意，得q＞0.(1)①由a2－a1＝8，a3＝m＝48，得解得或所以数列{an}的通项公式为an＝(16－8)(3＋)n－1或an＝(16＋8)(3－)n－1.②要使满足条件的数列{an}是唯一的，即关于a1与q的方程组有唯一正数解．所以方程8q2－mq＋m＝0有唯一解．则Δ＝m2－32m＝0，解得m＝32或m＝0.因为a3＝m＞0，所以m＝32，此时q＝2.经检验，当m＝32时，数列{an}唯一，其通项公式为an＝2n＋2.(2)由a2k＋a2k－1＋…＋ak＋1－(ak＋ak－1＋…＋a1)＝8，得a1(qk－1)(qk－1＋qk－2＋…＋1)＝8，且q＞1.则a2k＋1＋a2k＋2＋…＋a3k＝a1q2k(qk－1＋qk－2＋…＋1)＝＝8≥32.当且仅当qk－1＝，即q＝，等号成立．所以a2k＋1＋a2k＋2＋…＋a3k的最小值为32.
