2007年北京工业大学数学建模竞赛初赛试题B题:化验结果的处理题解摘要:本文运用了距离判别和Fisher判别两种方法对问题进行分析求解,得出了我们想要的结论,即通过体内元素含量较准确的判别个体是否患有肾炎。1、问题的提出人们到医院就诊时,通常要化验一些指标来协助医生的诊断。诊断就诊人员是否患肾炎时通常要化验人体内各种元素含量。表B.1是确诊病例的化验结果,其中1-30号病例是已经确诊为肾炎病人的化验结果;31-60号病例是已经确定为健康人的结果。表B.2是就诊人员的化验结果。我们的问题是:1根据表B.1中的数据,提出一种或多种简便的判别方法,判别属于患者或健康人的方法,并检验你提出方法的正确性。2按照1提出的方法,判断表B.2中的30名就诊人员的化验结果进行判别,判定他(她们是肾炎病人还是健康人。3能否根据表B.1的数据特征,确定哪些指标是影响人们患肾炎的关键或主要因素,以便减少化验的指标。4根据3的结果,重复2的工作。5对2和4的结果作进一步的分析。(表见附录2、问题分析1题目中表.1中给出了已经确诊为肾炎病人和健康人的各30组数据;2每一组数据都有七个数,分别代表了Zn,Cu,Fe,Ca,Mg,K,Na在每个人体内的量;3第一问要求我们提出判别一个人属于患者还是健康人的方法,这就需要通过对60组数据的分析得出健康人和肾炎患者体中这些元素量之差异,这些差异的大小又同时是解决第三问的主要影响因素;4在寻找数据的差异时,我们用到的传统方法就是求数据的方差和均值,用excel列表分析,用matlab作直方图分析。5第二问最可靠的方法就是用判别分析来做,这就需要在R软件中进行一些必要的编程和处理;6第四问是建立在第三问的基础上的;当解决了第三问中到底是那些因素影响到了人们患肾炎的关键时,只需要在那些主要因素中进行判断就可以省去一些复杂繁琐的步骤;7将以上问题都解决之后,我们使用和步骤5相同的方法,使用R软件帮助我们高效地对精简后的数据进行再次分析,并且把第二问和第四问的结果之间进行比较,观察差异和详细的分析。8为了进一步验证我们这种做法的合理性,我们又要用C语言编一个程序,把表B2中的数据与4中所求出各元素的均值进行比较,进行了一下直观的分析。3.符号约定后缀为1:患者体内元素的含量(例如:Zn1代表患者体内Zn的含量;后缀为2:健康人体内元素的含量(例如:Zn2代表健康人体内Zn的含量;1:患者;2:健康人;4.模型假设1题中所给的内容和数据都是真实可信的;2除了表中列出的元素外,其他元素对是否会患肾炎的影响很小;3外界条件对肾炎患者的影响不计;4没病的个体都是健康体。5.模型建立该问题的关键是如何判断一个人是有病的还是健康的,即这是个判别问题,可以采用统计方法中的判别分析法进行分析处理。题目中只有两类——病体和健康体,所以可采用二类群体的判别方法。首先考虑用一种简单而直观的判别方法——Mahalanobis距离判别。根据两个母体样本计算出他们的均值向量和协方差阵,求取待测样本x对两个样本的Mahalanobis距离,二者取差值,判断离那个母体近似。设x,y是从均值为μ,协方差阵为Σ的总体A中抽取的样本,则总体A内两点x与y的Mahalanobis距离定义为(,dxy=.定义样本x与A的Mahalanobis距离为(,dxA=值向量和协方差阵来代替:设(11x,(12x,(11nx是来自母体A的1n个样本,(21x,(22x,⋯⋯(22nx是来自母体A的2n个样本,则样本的均值与协方差为((11,1,2,iniiijjixxinμ∧====∑,212111212inijSSnn∧==∑=++-∑∑,((((1((,1,2.iniiiiTijjjSxxxxi==--=∑对于待测样本x,如果两个母体样本的协方差相同,由22(,(,dxBdxA-得到判别函数为1(1(2(((Txxxxxω∧-=-∑-,其中(1(22xxx+=,其判别准则是,(0,,(0.AxxBxωω∧∧?≥?∈??≥?。如果两个母体样本协方差不同,即1212,μμ≠∑≠∑,对于样本x判别函数定义为:11(2(2(1(121(((((TTxxxxxxxxxω--∧∧∧=-----∑∑,((((111((,1,211iniiiiTjjiijiixxxxSinn∧==--==--∑∑。其次考虑用另外一种方法求取解决办法——Fisher判别法,即按类内方差尽量小,类间方差尽量大的准则来求判断函数。设两个总体A、B的均值和协方差阵分别是1μ、2μ和1∑、2∑,对任一测样本x,设它的判别函数为(uux=,并假设11((,((uEuxxAuEuxB=∈=,2212((,((VaruxxAVaruxBσσ=∈=,...
