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人教版高数必修二第10讲:点、直线的距离和对称(教师版)VIP免费

人教版高数必修二第10讲:点、直线的距离和对称(教师版)_第1页
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1点、直线的距离和对称一、距离问题1.设平面上两点111222,,,PxyPxy,则22121212PPxxyy为两点间距离2.点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的距离d=.3.两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0的距离d=.二、对称问题1.关于点对称问题(1)点关于点对称点00,Mxy关于点,Pab的对称点是002,2axby.特别地,点00,Mxy关于原点的对称点为00,xy.(2)线关于点对称已知l的方程为:0AxByC220AB和点00,Pxy,则l关于P点的对称直线方程.设'P'',xy是对称直线'l上任意一点,它关于00,Pxy的对称点''002,2xxyy在直线l上,代入得''00220AxxByyC.此直线即为所求对称直线.2.关于线对称问题(1)点关于线对称已知点00,Mxy,直线:l0AxByC0AB,设点M关于直线l的对称点为00,Nxy,则由1MNlkk得到一个关于,mn的方程,又线段MN的中点在直线l得到另一个关于,mn的方程,解方程组00001022nyABmxxmynABC即可求出点00,Nxy.特别说明:①点00,Mxy关于x轴对称的点的坐标是00,xy,关于y轴对称点的坐标是00,xy②点00,Mxy关于直线yx的对称点坐标是00,yx,关于yx对称点为00,yx(2)线关于线对称已知1111:0,:0lAxByClAxByC,求直线1l关于直线l对称直线2l.如右图所示,在直线上任取不同于l与1l交点P的任一点M,先求出点M关于直线l的对称点N的坐标,再由,NP在2l上,用两点式求出直线2l的方程.NMPl2ll1Oyx2常见的对称结论有:设直线:0lAxByC.①l关于x轴的对称的直线是:0AxByC;②l关于y轴的对称的直线是:0AxByC;③l关于原点的对称的直线是:0AxByC;④l关于yx的对称的直线是:0AyBxC;⑤l关于yx的对称的直线是:0AyBxC;类型一点到直线的距离例1:求点P(3,-2)到下列直线的距离:(1)3x-4y-1=0;(2)y=6;(3)y轴.解析:本题主要考查点到直线的距离公式的应用,直接代入点到直线的距离公式即可.答案:(1)由点到直线的距离公式可得d=|3×3---1|32+-2=165.(2)由直线y=6与x轴平行,得d=|6-(-2)|=8.或将y=6变形为0·x+y-6=0,∴d=|0×3+--6|02+12=8.(3)d=|3|=3.练习1:求点P(-1,2)到直线2x+y-5=0的距离;答案:由点到直线距离公式d=5.练习2:点A(a,6)到直线3x-4y=2距离等于4,求a的值;答案:由点到直线的距离公式|3a-4×6-2|32+42=4,∴a=2或463.练习3:求过点A(-1,2)且与原点距离等于22的直线方程.答案:设所求直线l:y-2=k(x+1),原点O(0,0)到此直线距离为22,可求得k=-1或-7,∴所求直线方程为x+y-1=0或7x+y+5=0.例2:已知在△ABC中,A(3,2)、B(-1,5),C点在直线3x-y+3=0上.若△ABC的面积为10,求C点坐标.解析:本题易求|AB|=5,C点到AB的距离即为△ABC中AB边上的高.设C(x0,y0),则y0=3x0+3,从而可建立x0的方程求解.答案:设点C(x0,y0), 点C在直线3x-y+3=0上,3∴y0=3x0+3. A(3,2)、B(-1,5),∴|AB|=-2+-1-2=5.设C到AB的距离为d,则12d·|AB|=10,∴d=4.又直线AB的方程为y-25-2=x-3-1-3,即3x+4y-17=0,∴d=|3x0+x0+-17|32+42=|15x0-5|5=|3x0-1|=4.∴3x0-1=±4,解得x0=-1或53.当x0=-1时,y0=0;当x0=53时,y0=8.∴C点坐标为(-1,0)或(53,8).练习1:求经过点P(1,2)的直线,且使A(2,3),B(0,-5)到它的距离相等的直线方程.答案:解法一:当直线斜率不存在时,即x=1,显然符合题意,当直线斜率存在时,设所求直线的斜率为k,即直线方程为y-2=k(x-1),由条件得|2k-3-k+2|k2+1=|5-k+2|k2+1,解得k=4,故所求直线方程为x=1或4x-y-2=0.解法二:由平面几何知识知l∥AB或l过AB中点. kAB=4,若l∥AB,则l的方程为4x-y-2=0.若l过AB中点(1,-1),则直线方程为x=1,∴所求直线方程为:x=1或4x-y-2=0.练习2:若动点111,Pxy,222,Pxy分别在直线12:50,:150lxylxy上移动,则12PP的中点P到原点的距离的最小值是()A.522B.52C.1522D.152答案:B类型二两条平行线之间的距离例3:求两平行线l1:3x+4y=10和l2:3x+4y=15的距离.解析:由题目可获取以下主要信息:①直线l1与l2的方程已知;②l1与l2平行.解答本题可转化为点到直线的距离或直接利用两平行...

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