人教版高数必修二第10讲：点、直线的距离和对称(教师版)VIP免费

1点、直线的距离和对称一、距离问题1.设平面上两点111222,,,PxyPxy，则22121212PPxxyy为两点间距离2．点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的距离d＝.3．两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0的距离d＝.二、对称问题1.关于点对称问题（1）点关于点对称点00,Mxy关于点,Pab的对称点是002,2axby．特别地，点00,Mxy关于原点的对称点为00,xy．（2）线关于点对称已知l的方程为：0AxByC220AB和点00,Pxy，则l关于P点的对称直线方程．设'P'',xy是对称直线'l上任意一点，它关于00,Pxy的对称点''002,2xxyy在直线l上，代入得''00220AxxByyC．此直线即为所求对称直线．2.关于线对称问题（1）点关于线对称已知点00,Mxy，直线:l0AxByC0AB，设点M关于直线l的对称点为00,Nxy，则由1MNlkk得到一个关于,mn的方程，又线段MN的中点在直线l得到另一个关于,mn的方程，解方程组00001022nyABmxxmynABC即可求出点00,Nxy．特别说明：①点00,Mxy关于x轴对称的点的坐标是00,xy，关于y轴对称点的坐标是00,xy②点00,Mxy关于直线yx的对称点坐标是00,yx，关于yx对称点为00,yx（2）线关于线对称已知1111:0,:0lAxByClAxByC,求直线1l关于直线l对称直线2l．如右图所示，在直线上任取不同于l与1l交点P的任一点M，先求出点M关于直线l的对称点N的坐标，再由,NP在2l上，用两点式求出直线2l的方程．NMPl2ll1Oyx2常见的对称结论有：设直线:0lAxByC．①l关于x轴的对称的直线是：0AxByC；②l关于y轴的对称的直线是：0AxByC；③l关于原点的对称的直线是：0AxByC；④l关于yx的对称的直线是：0AyBxC；⑤l关于yx的对称的直线是：0AyBxC；类型一点到直线的距离例1：求点P(3，－2)到下列直线的距离：(1)3x－4y－1＝0；(2)y＝6；(3)y轴．解析：本题主要考查点到直线的距离公式的应用，直接代入点到直线的距离公式即可．答案：(1)由点到直线的距离公式可得d＝|3×3－－－1|32＋－2＝165.(2)由直线y＝6与x轴平行，得d＝|6－(－2)|＝8.或将y＝6变形为0·x＋y－6＝0，∴d＝|0×3＋－－6|02＋12＝8.(3)d＝|3|＝3.练习1：求点P(－1,2)到直线2x＋y－5＝0的距离；答案：由点到直线距离公式d＝5.练习2：点A(a,6)到直线3x－4y＝2距离等于4，求a的值；答案：由点到直线的距离公式|3a－4×6－2|32＋42＝4，∴a＝2或463.练习3：求过点A(－1,2)且与原点距离等于22的直线方程．答案：设所求直线l：y－2＝k(x＋1)，原点O(0,0)到此直线距离为22，可求得k＝－1或－7，∴所求直线方程为x＋y－1＝0或7x＋y＋5＝0.例2：已知在△ABC中，A(3,2)、B(－1,5)，C点在直线3x－y＋3＝0上．若△ABC的面积为10，求C点坐标．解析：本题易求|AB|＝5，C点到AB的距离即为△ABC中AB边上的高．设C(x0，y0)，则y0＝3x0＋3，从而可建立x0的方程求解．答案：设点C(x0，y0)， 点C在直线3x－y＋3＝0上，3∴y0＝3x0＋3. A(3,2)、B(－1,5)，∴|AB|＝－2＋－1－2＝5.设C到AB的距离为d，则12d·|AB|＝10，∴d＝4.又直线AB的方程为y－25－2＝x－3－1－3，即3x＋4y－17＝0，∴d＝|3x0＋x0＋－17|32＋42＝|15x0－5|5＝|3x0－1|＝4.∴3x0－1＝±4，解得x0＝－1或53.当x0＝－1时，y0＝0；当x0＝53时，y0＝8.∴C点坐标为(－1,0)或(53，8)．练习1：求经过点P(1,2)的直线，且使A(2,3)，B(0，－5)到它的距离相等的直线方程．答案：解法一：当直线斜率不存在时，即x＝1，显然符合题意，当直线斜率存在时，设所求直线的斜率为k，即直线方程为y－2＝k(x－1)，由条件得|2k－3－k＋2|k2＋1＝|5－k＋2|k2＋1，解得k＝4，故所求直线方程为x＝1或4x－y－2＝0.解法二：由平面几何知识知l∥AB或l过AB中点． kAB＝4，若l∥AB，则l的方程为4x－y－2＝0.若l过AB中点(1，－1)，则直线方程为x＝1，∴所求直线方程为：x＝1或4x－y－2＝0.练习2：若动点111,Pxy，222,Pxy分别在直线12:50,:150lxylxy上移动，则12PP的中点P到原点的距离的最小值是（）A．522B．52C．1522D．152答案：B类型二两条平行线之间的距离例3：求两平行线l1：3x＋4y＝10和l2：3x＋4y＝15的距离．解析：由题目可获取以下主要信息：①直线l1与l2的方程已知；②l1与l2平行．解答本题可转化为点到直线的距离或直接利用两平行...