1DOCBAE圆中的辅助线模型1连半径构造等腰三角形已知AB是⊙O的一条弦，连接OA，OB，则∠A＝∠B．OBA模型分析在圆的相关题目中，不要忽略隐含的已知条件．我们通常可以连接半径构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质及圆中的相关定理，解决角度的计算问题模型实例如图，CD是⊙O的直径，∠EOD＝84°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，求∠A．DOCBAE解答：如图，连接OB， AB＝OC，OC＝OB，∴AB＝BO．∴∠BOC＝∠A．∴∠EBO＝∠BOC＋∠A＝2∠A．而OB＝OE，得∠E＝∠EBO＝2∠A．1．如图，AB经过⊙O的圆心，点B在⊙O上，若AD＝OB，且∠B＝54°．试求∠A的度数．2解答：如图，连接OC、OD． ∠B＝54°，OC＝OB，∴∠AOC＝2∠B＝108°．又 AD＝OB＝OD，∴∠A＝∠AOD． OC＝OD，∴∠OCA＝∠ODC＝∠A＋∠AOD＝2∠A．∴∠A＋∠OCA＋∠AOC＝∠A＋2∠A＋108°＝180°．∴∠A＝24°．2．如图，AB是⊙O的直径，弦PQ交AB于M，且PM＝MO，求证：则?AP＝13?BQ．证明：如图，连接OP、OQ． PM＝OM，∴∠P＝∠MOP． OP＝OQ，∴∠P＝∠Q． ∠QMO＝2∠MOP，ABOCDABOQMP3图①AOBC∴∠BOQ＝3∠MOP．∴∠AOP＝13∠BOQ．∴?AP＝?13BQ．模型2构造直角三角形如图①，已知AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连接AC、BC，则∠ACB=90o.如图②，已知AB是⊙O的一条弦，过点O作OE⊥AB，则OE2+AE2=OA2.模型分析(1)如图①,当图形中含有直径时,构造直径所对的圆周角是解问题的重要思路,在证明有关问题中注意90o的圆周角的构造.(2)如图②，在解决求弦长、弦心距、半径问题时，在圆中常作弦心距或连接半径作为辅助线，利用图②EOAB4弦心距、半径和半弦组成一个直角三角形，再利用勾股定理进行计算.模型实例例1已知⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，BE=6，∠DEB=60o.求CD的长.解答:如图,过O作ＯＦ⊥ＣＤ于点Ｆ，连接ＯＤ． ＡＢ＝ＡＥ＋ＥＢ，ＡＥ＝２，ＥＢ＝６，∴ＡＢ＝８．∴ＯＡ＝12ＡＢ＝４．∴ＯＥ＝ＯＡ－ＡＥ＝４－２＝２在Ｒｔ△ＯＥＦ中,∠DEB=60o,OE=2,∴EF=1,OF=3.在Rt△ODF中,222ODDFOF,∴2224(3)DF.∴13DF. OF⊥CD,∴CD=2DF=213例2如图,AB是⊙O的直径,AB=AC,BC交⊙O于点D,AC交⊙O于点E,∠BAC=45o.(1)求∠EBC的度数;(2)求证:BD=CD.EAOBCDCBOADEABODFCE5解答（1） AB＝AC，∠BAC＝45°，∴∠ABC＝∠ACB＝67.5°． AB是直径，∴∠AEB＝90°，∴∠EBC＝90°－67.5°＝22.5°．（2）连接AD， AB是直径，∴∠ADB＝90°．又 AB＝AC，∴BD＝CD(等腰三角形三线合一性质)．练习1．如图，⊙O的弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AE＝5，BE＝13，点O到AB的距离为210．求点O到CD距离，线段OE的长即⊙O的半径．ABCDEO6解答：如图，连接OB，过O分别作OM⊥AB于点M，ON⊥CD于点N． AB＝AE＋BE＝5＋13＝18，∴AM＝12AB＝9．又 OM＝210，∴在Rt△OBM中，BO＝22OMBM＝8140＝11，由图知，四边形ONEM是矩形，∴ON＝EM＝AM－AE＝9－5＝4，∴OE＝22OMBM＝22(210)4＝214．2．已知，AB和CD是⊙O的两条弦，且AB⊥CD于点H，连接BC、AD，作OE⊥AD于点E．求证：OE＝12BC．证明：如图，连接AO并延长交⊙O于点F，连接DF、BD． OE⊥AD，∴AE＝DE． OA＝OF，∴OE是△ADF的中位线．∴OE＝12DF．ABCDEHO7 AB⊥CD，∴∠ABD＋∠CDB＝90°． AF是直径，∴∠ADF＝90°．∴∠DAF＋∠F＝90°． ∠ABD＝∠F，∴∠CDB＝∠DAF．∴DF＝BC．∴OE＝12BC．3．如图，直径AB＝2，AB、CD交于点E且夹角为45°．则CE2＋DE2＝__________．解答：如图，过点O作OF⊥CD于点F，连接OD．设OF＝a，DF＝b，则在Rt△OFD中，a2＋b2＝1．∴CF＝DF＝b． ∠BED＝45°，∴OF＝EF＝a．∴CE2＋DE2＝(b－a)2＋(a＋b)2＝2(a2＋b2)＝2．模型3与圆的切线有关的辅助线ABCDEOABCO8模型分析（1）已知切线：连接过切点的半径；如图，已知直线AB是⊙O的切线，点C是切点，连接OC，则OC⊥AB．（2）证明切线：①当已知直线经过圆上的一点时，连半径，证垂直；如图，已知过圆上一点C的直线AB，连接OC，证明OC⊥AB，则直线AB是⊙O的切线．②如果不知直线与圆是否有交点时，作垂直，证明垂线段长度等于半径；如图，过点O作OC⊥AB，证明OC等于⊙O的半径，则直线AB是⊙O的切线．模型实例例1如图，...
