第三讲根与系数的关系（韦达定理）一、学习目标理解并掌握一元二次方程根与系数的关系式,并能其解决相关问题.二、学法指导1.回忆初中学习过的求根公式,从其入手推演根与系数的关系式.2.同学们通过对自测题的讨沦探究找到运用根与系数的关系式解决相关问题的方法.三、知识链接1.复习旧知识：若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根，，则有；．2.启发新知识：由上可得:一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：①如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝，x1·x2＝．这一关系也被称为韦达定理．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知x1＋x2＝－p，x1·x2＝q，即p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，所以，方程x2＋px＋q＝0可化为x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0的两根．②以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．四、自测试题1．选择题:（1）已知关于x的方程x2＋kx－2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（）（A）－3（B）3（C）－2（D）2（2）下列四个说法：①方程x2＋2x－7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7；②方程x2－2x＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；③方程3x2－7＝0的两根之和为0，两根之积为；④方程3x2＋2x＝0的两根之和为－2，两根之积为0．其中正确说法的个数是（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个（3）关于x的一元二次方程ax2－5x＋a2＋a＝0的一个根是0，则a的值是（）（A）0（B）1（C）－1（D）0，或－12．填空:（1）方程kx2＋4x－1＝0的两根之和为－2，则k＝．（2）方程2x2－x－4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝．（3）已知关于x的方程x2－ax－3a＝0的一个根是－2，则它的另一个根是．（4）方程2x2＋2x－1＝0的两根为x1和x2，则|x1－x2|＝．3．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x2－7x－1＝0各根的相反数4.已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值．5.已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值（选做题）。6.已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数（选做题）。五、当堂训练（要有选作题，并注明哪题是选作题）1．选择题:若关于x的方程x2＋(k2－1)x＋k＋1＝0的两实根互为相反数，则k的值为（）（A）1，或－1（B）1（C）－1（D）02．填空:（1）若m，n是方程x2＋2005x－1＝0的两个实数根，则m2n＋mn2－mn的值等于．（2）如果a，b是方程x2＋x－1＝0的两个实数根，那么代数式a3＋a2b＋ab2＋b3的值是．3．已知关于x的方程x2－kx－2＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根为x1和x2，如果2(x1＋x2)＞x1x2，求实数k的取值范围．4．关于x的方程x2＋4x＋m＝0的两根为x1，x2满足|x1－x2|＝2，求实数m的值5.（选做题）若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根．（1）求|x1－x2|的值；（2）求的值；（3）x13＋x23．6.若关于x的一元二次方程x2－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围．六、知识清单（要注明每一条学生应掌握的程度，如熟记、默写等要求）熟记关于一元二次方程有两不等实根的前提条件Δ＞0,以及根与系数的关系式。七、日清反思
