导数的概念（习题课）VIP专享VIP免费

导数的概念(习题课)xyoBx2f(x2)Ax1f(x1)f(x2)-f(x1)x2-x1直线AB的斜率y=f(x)1.平均变化率函数y=f(x)从x1到x2平均变化率为:121()()2fxfxxxyx2.平均变化率的几何意义：割线的斜率121()()2fxfxxxykx3.导数的概念函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率0000(Δ)()()limxfxxfxfxx称为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作或,即0|xxy0()fx导数还可以用下式表示：0000()()()limxxfxfxfxxx4.求函数y=f(x)在x=x0处的导数的一般步骤是:001()()();yfxxfx求函数的增量002()()();求平均变化率fxxfxyxx003()()lim.取极限，得导数xyfxx一差、二比、三极限例1.(1)求函数y=3x2在x=1处的导数.(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．题型：求函数在某处的导数例1.(1)求函数y=3x2在x=1处的导数.题型：求函数在某处的导数解：23(1)3x263()xxyx63x/0(1)limxyfxy(1)(1)fxf263()xxx0lim(63)xx6例1.(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．题型：求函数在某处的导数解：22(1)(1)[(1)(1)]xx2()3xxyx平均变化率3x/0(1)limxyfx0lim(3)xx3y(1)(1)fxf2()3xxx0001,(),2..2yxxxfxx在处附近有定求例义且的值:解yx0limxyx01'|,2xxy由000000()()()xxxxxxxxxx001.xxx011,22x得01.x00xxxx00,yxxx0001limxxxx01,2x练习：已知函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，求a.解: Δy＝a(1＋Δx)2＋c－(a＋c)＝2aΔx＋a(Δx)2∴f′(1)＝(2a＋aΔx)＝2a∴ΔyΔx＝2a＋aΔx∴由题意得2a＝2，∴a＝10limx例2．质量为１０kg的物体，按照s(t)=3t2+t+4的规律做直线运动，求运动开始后４s时物体的动能。21()2Emv200253limlimxxsttvtt题型：应用221110253125()22EmvJ0lim(253)25xt[例3]若一物体运动方程如下：(位移：m，时间：s)s＝3t2＋2，t≥3，①29＋3t－32，0≤t＜3，②求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度；(2)物体的初速度v0；(3)物体在t＝1时的瞬时速度．[精解详析](1) 物体在t∈[3,5]内的时间变化量为Δt＝5－3＝2，物体在t∈[3,5]内的位移变化量为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，∴物体在t∈[3,5]上的平均速度为ΔsΔt＝482＝24(m/s)．(2)求物体的初速度v0即求物体在t＝0时的瞬时速度． 物体在t＝0附近的平均速度为ΔsΔt＝f0＋Δt－f0Δt＝29＋3[0＋Δt－3]2－29－30－32Δt＝3Δt－18，∴物体在t＝0处的瞬时速度为limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(3Δt－18)＝－18(m/s)，即物体的初速度为－18m/s.(3)物体在t＝1时的瞬时速度即为函数在t＝1处的瞬时变化率． 物体在t＝1附近的平均变化率为ΔsΔt＝29＋31＋Δt－32－29－31－32Δt＝3Δt－12，∴物体在t＝1处的瞬时变化率为limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(3Δt－12)＝－12(m/s)，即物体在t＝1时的瞬时速度为－12m/s.如果函数y＝f(x)在区间(a,b)内每一点都可导,就说函数y＝f(x)在区间(a,b)内可导.这时,对每一个x(a,b)都有唯一确定的导数值与它对应,这样在区间(a,b)内就构成一个新的函数.这个新的函数叫做函数f(x)在区间(a,b)内的导函数,记作,即:()()xfxyy或必要时记作00()()()limlimxxyfxxfxfxyxx在不致发生混淆时，导函数也简称导数．0000(,),()()()(,)()().xabyfxxfxfxabfxx当时函数在点处的导数等于函数在开区间内的导函数在点处的函数值练习1.质点按规律s(t)=at2+1做直线运动(位移单位：m,时间单位：s).若质点在t=2时的瞬时速度为8m/s,求常数a的值。a=2练习2.质量为5kg的物体按规律（t的单位：s,s的单位：cm）做直线运动，求物体受到的作用力。2s=2+3tt0.3N例4将原油精炼为汽油、柴...