二元一次方程组的解法—代入消元法、加减消元法【本讲教育信息】一.教学内容：二元一次方程组的解法——代入消元法、加减消元法［目标］1.熟练掌握用代入（消元）法、加减（消元）法解二元一次方程组．2.理解三元一次方程组并掌握其解法．3.会求二元一次方程的整数解二.重、难点：1.了解解二元一次方程组的基本思想，能选用合理、简捷的方法解二元一次方程组．2.了解三元一次方程组及其解的概念，解三元一次方程组的基本思想和方法．3.通过一次方程组解法的学习，领会多元方程组向一元方程组转化(化归)的思想．在较复杂的方程组解法的训练中，渗透换元的思想．4.掌握简单的二元一次方程的整数解的求法．三.知识要点1.解二元一次方程组的方法：解二元一次方程组的基本思路是“消元”．“消元”－－－－－－把“二元”变为“一元”．（1）代入消元法将其中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法．适用范围：最好是某个未知数的前面的系数的绝对值为1或一个方程的常数项为0，否则尽量避免使用这种方法．（2）加减消元法把方程组的两个方程（或先作适当变形）相加或相减，消去其中一个未知数，把解二元一次方程组转化为解一元一次方程．这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法．注意：注意变形的等价性，代入要细心，计算后要检验．把求出的解代入原方程组，可以检验解题过程是否正确．一般步骤：第一步：在所解的方程组中的两个方程，如果某个未知数的系数互为相反数，可以把这两个方程的两边分别相加，消去这个未知数；如果未知数的系数相等，可以直接把两个方程的两边相减，消去这个未知数．第二步：如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等，那么应选出一组系数(选最小公倍数较小的一组系数)，求出它们的最小公倍数(如果一个系数是另一个系数的整数倍，该系数即为最小公倍数)，然后将原方程组变形，使新方程组的这组系数的绝对值相等(都等于原系数的最小公倍数)，再加减消元．第三步：对于较复杂的二元一次方程组，应先化简．2.三元一次方程组及其解：（1）解三元一次方程组的基本思路：化三“元”为二“元”，再化二“元”为一“元”，即利用代入法和加减法消“元”逐步求解．说明：解三元一次方程组，除了要考虑好选择哪种方法和决定消去哪一个未知数之外，关键的一步是由三“元”化为二“元”，特别注意两次消元过程中，方程组中每个方程至少要用到1次，并且(1)，(2)，(3)3个方程中先由哪两个方程消某一个未知数，再由哪两个方程（一个是用过的）仍然消这个未知数，防止第一次消去y，第二次消去z或x，仍然得到三元一次方程组，没有达到消“元”的目的．3.二元一次方程整数解（1）二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by＝c中，若a，b的最大公约数能整除c，则方程有整数解．即如果（a，b）|c则方程ax+by＝c有整数解．显然a，b互质时一定有整数解．例如：方程3x+5y＝1，5x－2y＝7，9x+3y＝6都有整数解．（2）二元一次方程整数解的求法：1）关于整数解的通解：若方程ax+by＝c有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k来表示它的通解（即所有的解）．k叫做参变数．①整除法：求方程5x+11y＝1的整数解解：x＝＝(1)，设是整数），则y＝1－5k(2)，把（2）代入（1）得x＝k－2(1－5k)＝11k－2∴原方程所有的整数解是（k是整数）②公式法：设ax+by＝c有整数解则通解是（x0，y0可用观察法）2）求二元一次方程的正整数解：①写出整数解的通解，再解x，y的不等式组，确定k值②用观察法直接写出．【典型例题】例1.用代入法解方程组：（1）分析：通常，当某个未知数的系数的绝对值为1时，将它所在的方程变形解：由（2）得代入（1）得：解得：代入（3）得：∴（2）分析：代入法消元通常是，把方程组中的某个方程的一个未知数（系数最为简单的）用另一个未知数的代数式来表示解：由（1）得代入（2）得：解得：代入（3）得：∴（3）分析：应先把分数系数化为整数系数，即把原方程组化简．解：原方程组可化为：由（3）得代入（4）...
