训练目标(1)向量知识的综合应用；(2)向量与其他知识的结合.训练题型(1)向量与三角函数；(2)向量与三角形；(3)向量与平面解析几何.解题策略(1)利用向量知识可将和三角函数有关的问题“脱去”向量外衣，转化为三角函数问题；(2)向量和平面图形的问题往往借助三角形，结合正弦、余弦定理解决；(3)解决向量与平面解析几何问题的基本方法是坐标法.1．(2015·珠海调研)设向量a＝(sinx，cos2x)，b＝(cosx，)，函数f(x)＝ab.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若0<α<，f()＝，求cosα的值．2.如图，在△OAB中，OC＝OA，OD＝OB，AD与BC交于点M，设OA＝a，OB＝b.(1)用a、b表示OM；(2)已知在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设OE＝pOA，OF＝qOB，求证：＋＝1.3．(2015·福建三明高中联盟校期末)已知向量m＝(3cosx，sinx)，n＝(2cosx，－2cosx)，函数f(x)＝mn.(1)求f(x)的最小正周期和对称轴方程；(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(B)＝0且b＝2，cosA＝，求a的值．4．(2015·长沙一模)已知向量a＝(1，－2)，b＝(x，y)．(1)若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足ab＝－1的概率；(2)若x，y∈[1,6]，求满足ab>0的概率．5．(2015·广东六校三联)如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA，OB上的动点，且P，G，Q三点共线．(1)设PG＝λPQ，将OG用λ，OP，OQ表示；(2)设OP＝xOA，OQ＝yOB，证明：＋是定值．答案解析1．解(1)f(x)＝sinxcosx＋cos2x＝sin2x＋cos2x＝sin(2x＋)，所以最小正周期T＝＝π.(2)由f()＝，得sin(α＋)＝，所以cos2(α＋)＝.因为0<α<，所以<α＋<，所以cos(α＋)＝.所以cosα＝cos(α＋－)＝cos(α＋)cos＋sin(α＋)sin＝×＋×＝.2．(1)解设OM＝ma＋nb，则AM＝(m－1)a＋nb，AD＝－a＋b.∵点A、M、D共线，∴AM与AD共线，∴(m－1)－(－1)×n＝0，∴m＋2n＝1.①而CM＝OM－OC＝(m－)a＋nb，CB＝－a＋b.∵C、M、B共线，∴CM与CB共线，∴－n－(m－)＝0.∴4m＋n＝1.②联立①②可得m＝，n＝，∴OM＝a＋b.(2)证明EM＝(－p)a＋b，EF＝－pa＋qb，∵EF与EM共线，∴(－p)q－×(－p)＝0.∴q－pq＝－p，即＋＝1.3．解(1)f(x)＝mn＝6cos2x－2sinxcosx＝3(1＋cos2x)－sin2x＝3cos2x－sin2x＋3＝2cos(2x＋)＋3，∴f(x)的最小正周期为T＝＝π.由2x＋＝kπ(k∈Z)，得对称轴方程为x＝kπ－(k∈Z)．(2)由f(B)＝0，得cos(2B＋)＝－.∵B为锐角，∴<2B＋<，∴2B＋＝，B＝.∵cosA＝，A∈(0，π)，∴sinA＝＝.在△ABC中，由正弦定理得a＝＝＝，即a＝.4．解(1)设(x，y)表示一个基本事件，则抛掷两次骰子的所有基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,5)，(6,6)，共36个．用A表示事件“a·b＝－1”，即x－2y＝－1.则A包含的基本事件有(1,1)，(3,2)，(5,3)，共3个．∴P(A)＝＝.(2)用B表示事件“ab>0”，即x－2y>0.试验的全部结果所构成的区域为{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6}，构成事件B的区域为{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6，x－2y>0}，如图所示．所以所求的概率为P(B)＝＝.5．(1)解OG＝OP＋PG＝OP＋λPQ＝OP＋λ(OQ－OP)＝(1－λ)OP＋λOQ.(2)证明由(1)得OG＝(1－λ)OP＋λOQ＝(1－λ)xOA＋λyOB，①∵G是△OAB的重心，∴OG＝OM＝×(OA＋OB)＝OA＋OB.②而OA，OB不共线，∴由①②得解得∴＋＝3(定值)．
