第六章平面向量与复数第29课平面向量的基本概念及其线性运算[最新考纲]内容要求ABC平面向量的概念√平面向量的加法、减法及数乘运算√1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量称为向量，向量的大小称为向量的长度(或模)．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫作a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ>0时，λa与a方向相同；当λ<0时，λa与a方向相反；当a＝0时，λa＝0，当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．()(2)若a∥b，b∥c，则a∥c.()(3)a∥b是a＝λb(λ∈R)的充要条件．()(4)△ABC中，D是BC的中点，则AD＝(AC＋AB)．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且OA＝a，OB＝b，则DC＝________，BC＝________.(用a，b表示)b－a－a－b[如图，DC＝AB＝OB－OA＝b－a，BC＝OC－OB＝－OA－OB＝－a－b.]3．设点P是△ABC所在平面内一点，且BC＋BA＝2BP，则PC＋PA＝________.0[因为BC＋BA＝2BP，由平行四边形法则知，点P为AC的中点，故PC＋PA＝0.]4．(2017·苏州模拟)设D为△ABC所在平面内一点，BC＝3CD，则AD可用AB，AC表示为________．AD＝－AB＋AC[AD＝AC＋CD＝AC＋BC＝AC＋(AC－AB)＝AC－AB＝－AB＋AC.]5．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.－[由已知得a＋λb＝－k(b－3a)，∴得]平面向量的有关概念给出下列六个命题：①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；②若AB＝DC，则ABCD为平行四边形；③若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线；⑤λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；⑥a，b为非零向量，a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.其中假命题的序号为________．①②③④⑤⑥[①不正确．|a|＝|b|.但a，b的方向不确定，故a，b不一定是相等或相反向量；②不正确．因为AB＝DC，A，B，C，D可能在同一直线上，所以ABCD不一定是四边形；③不正确．两向量不能比较大小；④不正确．当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线；⑤不正确．当λ＝1，a＝0时，λa＝0；⑥不正确．对于非零向量a，b，a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a，b同向．][规律方法]1.(1)易忽视零向量这一特殊向量，误认为④是正确的；(2)充分利用反例进行否定是对向量的有关概念题进行判定的行之有效的方法.2．(1)相等向量具有传递性，非零向量平行也具有传递性．(2)共线向量(平行向量)和相等向量均与向量的起点无关．3．若a为非零向量，则是与a同向的单位向量，－是与a反向的单位向量．[变式训练1]设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的是________．(填序号)①②③[向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．]平面向量的线性运算(1)(2014·全国卷Ⅰ)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EB＋FC＝________.(2)(2016·广东广州模拟)在梯形ABCD中，AD∥BC，已知AD＝4，BC＝6，若CD＝mBA＋nBC(m，n∈R)，则＝________.【导学号：62172156】(1)AD(2)－3[(1)如图，EB＋FC＝EC＋CB＋FB＋BC＝EC＋FB＝(AC＋AB)＝·2AD＝A...
