第六章平面向量与复数第29课平面向量的基本概念及其线性运算课时分层训练A组基础达标(建议用时：30分钟)1．在△ABC中，已知M是BC中点，设CB＝a，CA＝b，则AM＝________.(用a，b表示)a－b[AM＝AC＋CM＝－CA＋CB＝－b＋a.]2．已知AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，则一定共线的三点是________.【导学号：62172158】A，B，D[因为AD＝AB＋BC＋CD＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝3AB，又AB，AD有公共点A，所以A，B，D三点共线．]3．在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若AD＝2DB，CD＝CA＋λCB，则λ等于________．[∵AD＝2DB，即CD－CA＝2(CB－CD)，∴CD＝CA＋CB，∴λ＝.]4．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是________．(填序号)①a＝－b；②a∥b；③a＝2b；④a∥b且|a|＝|b|.③[＝⇔a＝⇔a与b共线且同向⇔a＝λb且λ>0.②④中a和b可能反向．①中λ<0，不符合λ>0.]5．已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量OA，OB，OC，OD满足等式OA＋OC＝OB＋OD，则四边形ABCD的形状为________.【导学号：62172159】平行四边形[由OA＋OC＝OB＋OD得OA－OB＝OD－OC，所以BA＝CD，所以四边形ABCD为平行四边形．]6．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若BC＝5e1，DC＝3e2，则OC＝________.(用e1，e2表示)e1＋e2[在矩形ABCD中，因为O是对角线的交点，所以OC＝AC＝(AB＋AD)＝(DC＋BC)＝(5e1＋3e2)．]7．已知点O为△ABC外接圆的圆心，且OA＋OB＋OC＝0，则△ABC的内角A等于________．60°[∵OA＋OB＋OC＝0，∴O是△ABC的重心，又O为△ABC的外心，∴△ABC为等边三角形，∴A＝60°.]8．已知平面内一点P及△ABC，若PA＋PB＋PC＝AB，则有关点P与△ABC的位置关系判断正确的是________．(填序号)【导学号：62172160】①点P在线段AB上；②点P在线段BC上；③点P在线段AC上；④点P在△ABC外部．③[∵PA＋PB＋PC＝AB＝PB－PA，∴2PA＋PC＝0.即A，P，C三点共线．]9．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC2＝16，|AB＋AC|＝|AB－AC|，则|AM|＝________.2[由|AB＋AC|＝|AB－AC|可知AB⊥AC.∴△ABC为直角三角形．又M为BC的中点，∴|AM|＝|BC|＝×4＝2.]10．在△ABC中，点M，N满足AM＝2MC，BN＝NC.若MN＝xAB＋yAC，则x＝________；y＝________.－[∵AM＝2MC，∴AM＝AC.∵BN＝NC，∴AN＝(AB＋AC)，∴MN＝AN－AM＝(AB＋AC)－AC＝AB－AC.又MN＝xAB＋yAC，∴x＝，y＝－.]11．如图291，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，AB＝a，AC＝b，则AD＝________(用a，b表示)．图291a＋b[∵C，D为半圆弧的三等分点，连结CD，OD，易知∠ADO＝∠DAO＝30°，且四边形ACDO为平行四边形．∴AD＝AO＋AC＝AB＋AC＝a＋b.]12．如图292，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于点H，M为AH的中点．若AM＝λAB＋μBC，则λ＋μ＝________.图292[因为AB＝2，∠ABC＝60°，AH⊥BC，所以BH＝1.因为点M为AH的中点，所以AM＝AH＝(AB＋BH)＝＝AB＋BC，又AM＝λAB＋μBC，所以λ＝，μ＝，所以λ＋μ＝.]B组能力提升(建议用时：15分钟)1．设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且OA＋OB＋2OC＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为________．4[因为D为AB的中点，则OD＝(OA＋OB)，又OA＋OB＋2OC＝0，所以OD＝－OC，所以O为CD的中点．又因为D为AB的中点，所以S△AOC＝S△ADC＝S△ABC，则＝4.]2．(2017·南京模拟)在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且BC＝3CD，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若AO＝xAB＋(1－x)AC，则x的取值范围是________．[设CO＝yBC，∵AO＝AC＋CO＝AC＋yBC＝AC＋y(AC－AB)＝－yAB＋(1＋y)AC.∵BC＝3CD，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，∴y∈，∵AO＝xAB＋(1－x)AC，∴x＝－y，∴x∈.]3．如图293，经过△OAB的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设OP＝mOA，OQ＝nOB，m，n∈R，则＋的值为________．图2933[连结OG，设OA＝a，OB＝b，由题意知OG＝×(OA＋OB)＝(a＋b)，PQ＝OQ－OP＝nb－ma，PG＝OG－OP＝a＋b，由P，G，Q三点共线得，存在实数λ，使得PQ＝λPG，即nb－ma＝λa＋λb，从而消去λ得＋＝3.]4．设G为△ABC的重心，且sinA·GA＋sinB·GB＋sinC·GC＝0，则B的大小为________．[∵G是△ABC的重心，∴GA＋GB＋GC＝0.∴GA＝－GB－GC，由sinA·GA＋sinB·GB＋sinC·GC＝0，得sinA·(－GB－GC)＋sinB·GB＋sinC·GC＝0，即(sinB－sinA)·GB＋(sinC－sinA)·GC＝0.又GB与GC不共线，故所以sinA＝sinB＝sinC，∴A＝B＝C，又A＋B＋C＝π，∴A＝B＝C＝.]
