课时2圆的进一步认识1．圆周角与圆心角定理(1)圆心角定理：圆心角的度数等于其所对弧的度数．(2)圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧的度数的一半．推论1：同弧(或等弧)所对的圆周角相等．同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角等于90°.反之，90°的圆周角所对的弧为半圆(或弦为直径)．2．圆的切线的性质及判定定理(1)判定定理：过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线．(2)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．推论1：经过圆心且与切线垂直的直线必经过切点．推论2：经过切点且与切线垂直的直线必经过圆心．3．切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等．4．弦切角定理弦切角的度数等于其所夹弧的度数的一半．5．与圆有关的比例线段定理名称基本图形条件结论应用相交弦定理弦AB，CD相交于圆内点P(1)PA·PB＝PC·PD；(2)△ACP∽△BDP(1)在PA，PB，PC，PD四线段中知三求一；(2)求弦长及角割线定理PAB，PCD是⊙O的割线(1)PA·PB＝PC·PD；(2)△PAC∽△PDB(1)求线段PA，PB，PC，PD；(2)应用相似求AC，BD切割线定理PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线(1)PA2＝PB·PC；(2)△PAB∽△PCA(1)已知PA，PB，PC知二可求一；(2)求解AB，AC切线长定理PA，PB是⊙O的切线(1)PA＝PB；(2)∠OPA＝∠OPB(1)证明线段相等，已知PA求PB；(2)求角6.圆内接四边形的性质与判定定理(1)性质定理：圆内接四边形的对角互补．(2)判定定理：如果四边形的对角互补，则此四边形内接于圆．1．如图，从圆O外一点P引圆的切线PC及割线PAB，C为切点．求证：AP·BC＝AC·CP.证明因为PC为圆O的切线，所以∠PCA＝∠PBC，又∠CPA＝∠BPC，故△CAP∽△BCP，所以＝，即AP·BC＝AC·CP.2．(2015·重庆)如图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA＝6，AE＝9，PC＝3，CE∶ED＝2∶1，求BE的长．解首先由切割线定理得PA2＝PC·PD，因此PD＝＝12，CD＝PD－PC＝9，又CE∶ED＝2∶1，因此CE＝6，ED＝3，再由相交弦定理AE·EB＝CE·ED，所以BE＝＝＝2.3．如图，△ABC中，BC＝6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC＝2AE，求EF的长．解 ∠A＝∠A，∠AEF＝∠ACB，∴△AEF∽△ACB，∴＝，∴2＝，∴EF＝3.4.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，求DE的长．解在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，∴∠ABC＝30°. AB＝20，∴AC＝10，BC＝10. CD为切线，∴∠BCD＝∠A＝60°. ∠BDC＝90°，∴BD＝15，CD＝5.由切割线定理得DC2＝DE·DB，即(5)2＝15DE，∴DE＝5.题型一圆周角、弦切角和圆的切线问题例1(2015·课标全国Ⅰ)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E.(1)若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；(2)若OA＝CE，求∠ACB的大小．(1)证明连结AE，由已知得，AE⊥BC，AC⊥AB.在Rt△AEC中，由已知得，DE＝DC，故∠DEC＝∠DCE.连结OE，则∠OBE＝∠OEB.又∠ACB＋∠ABC＝90°，所以∠DEC＋∠OEB＝90°，故∠OED＝90°，即DE是⊙O的切线．(2)解设CE＝1，AE＝x，由已知得AB＝2，BE＝.由射影定理可得，AE2＝CE·BE，所以x2＝，即x4＋x2－12＝0.可得x＝，所以∠ACB＝60°.思维升华(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端作圆周角或弦切角．(1)如图所示，⊙O的两条切线PA和PB相交于点P，与⊙O相切于A，B两点，C是⊙O上的一点，若∠P＝70°，求∠ACB的大小．(2)如图，圆O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，且满足∠ABC＝30°，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，求PA的长．解(1)如图所示，连结OA，OB，则OA⊥PA，OB⊥PB.故∠AOB＝110°，∴∠ACB＝∠AOB＝55°.(2)如图，连结OA，由圆周角定理知∠AOC＝60°，又OA⊥PA，在Rt△POA中，PA＝OA·tan∠AOC＝1×＝.题型二四点共圆问题例2如图所示，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B、C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点．(1)...
