12.2直接证明与间接证明1．直接证明(1)综合法①定义：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法常称为综合法．②框图表示：⇒…⇒…⇒③思维过程：由因导果．(2)分析法①定义：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止．这种证明方法常称为分析法．②框图表示：⇐…⇐…⇐③思维过程：执果索因．2．间接证明反证法：要从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)．这个过程包括下面3个步骤：(1)反设——假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真；(2)归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；(3)存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．(×)(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．(×)(3)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“aa＋b，则a、b应满足的条件是__________________________．答案a≥0，b≥0且a≠b解析 a＋b－(a＋b)＝(a－b)＋(b－a)＝(－)(a－b)＝(－)2(＋)．∴当a≥0，b≥0且a≠b时，(－)2(＋)>0.∴a＋b>a＋b成立的条件是a≥0，b≥0且a≠b.5．(2016·盐城模拟)如果函数f(x)在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，有≤f()，已知函数y＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值为________．答案解析 f(x)＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，且A，B，C∈(0，π)．∴≤f()＝f()，即sinA＋sinB＋sinC≤3sin＝，∴sinA＋sinB＋sinC的最大值为.题型一综合法的应用例1数列{an}满足an＋1＝，a1＝1.(1)证明：数列{}是等差数列；(2)求数列{}的前n项和Sn，并证明＋＋…＋>.(1)证明 an＋1＝，∴＝，化简得＝2＋，即－＝2，故数列{}是以1为首项，2为公差的等差数列．(2)解由(1)知＝2n－1，∴Sn＝＝n2.方法一＋＋…＋＝＋＋…＋>＋＋…＋＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝.方法二＋＋…＋＝＋＋…＋>1，又 1>，∴＋＋…＋>.思维升华(1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性．(2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理．若a，b，c是不全相等的正数，求证：lg＋lg＋lg>lga＋lgb＋lgc.证明 a，b，c∈(0，＋∞)，∴≥>0，≥>0，≥>0.由于a，b，c是不全相等的正数，∴上述三个不等式中等号不能同时成立，∴··>abc>0成立．上式两边同时取常用对数，得lg(··)>lgabc，∴lg＋lg＋lg>lga＋lgb＋lgc.题型二分析法的应用例2已知函数f(x)＝tanx，x∈，若x1，x2∈，且x1≠x2，求证：[f(x1)＋f(x2)]>f.证明要证[f(x1)＋f(x2)]>f，即证明(tanx1＋tanx2)>tan，只需证明>tan，只需证明>.由于x1，x2∈，故x1＋x2∈(0，π)．所以cosx1cosx2>0，...
