第60课椭圆的方程(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(选修1-1P30练习3改编)已知某椭圆焦距是4，焦点在x轴上，且经过点M(3，-2)，则该椭圆的标准方程是.【答案】+=1【解析】由题意设椭圆方程为+=1(a>b>0)，由2c=4，得c=2，又点M在椭圆上，代入得+=1.又a2-b2=c2，所以+=1，解得a2=36或a2=1(舍去)，故b2=32，所以椭圆方程为+=1.2.(选修1-1P30习题3改编)经过A，B两点的椭圆的标准方程为.【答案】+y2=1【解析】设椭圆方程为+=1(a>0，b>0)，将点A，B代入，得+=1，+=1，解得b2=1，a2=8，所以椭圆方程为+y2=1.3.(选修1-1P34练习2改编)一个椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到右顶点的距离为1，它的标准方程是.【答案】+=1【解析】由题意设椭圆方程为+=1(a>b>0)，右焦点F(c，0)，一个短轴端点为(0，b)，右顶点(a，0)，由右焦点到短轴端点的距离为=2=a，右焦点到右端点的距离为a-c=1，得c=1，所以b==，所以椭圆方程为+=1.4.(选修1-1P31习题4改编)若F1，F2是椭圆+=1的两个焦点，过F1作倾斜角为α的直线，与椭圆相交于A，B两点，则△ABF2的周长为.【答案】16【解析】由AF1+AF2=2a=8，BF1+BF2=8，得△ABF2的周长为AB+AF2+BF2=AF1+AF2+BF1+BF2=16.1.椭圆的定义(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于定长(大于F1F2)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距，用符号表示为PF1+PF2=2a(2a>F1F2).(2)平面内到定点F和定直线l(F不在定直线l上)的距离之比是一个常数e(0b>0)的焦点为(±c，0)，其中c=，焦点F1(-c，0)对应的准线为x=-，焦点F2(c，0)对应的准线为x=.3.椭圆+=1(a>b>0)的离心率e=(0b>c)成等差数列，A，C两点的坐标分别为(-1，0)，(1，0)，试确定顶点B所在的曲线的方程.【思维引导】由a，b，c(a>b>c)成等差数列，得BC+BA=2AC为定值，从而动点B在以C，A为焦点的椭圆上，可用定义法求出椭圆方程(再结合其他条件去除多余的点).【解答】设点B的坐标为(x，y)，因为a，b，c(a>b>c)成等差数列，所以a+c=2b，即BC+BA=4.由椭圆定义知点B所在曲线的轨迹方程为+=1.又因为a>b>c，所以BC>AC，所以(x-1)2+y2>(x+1)2+y2，所以x<0.所以点B的轨迹是椭圆的一半，其方程为+=1(x<0).又当x=-2时，点B，A，C在同一直线上，不能构成△ABC，所以x≠-2.所以顶点B的轨迹方程为+=1(-2FN=4，所以动点M所在的曲线是以F，N为焦点、长轴长为10的椭圆，其方程为+=1.变式已知圆F1：(x+1)2+y2=16，定点F2(1，0)，动圆M过点F2，且与圆F1相内切，则点M的轨迹C的方程为.【答案】+=1【解析】设圆M的半径为r.因为圆M与圆F1相内切，所以MF1=4-r，因为圆M过点F2，所以MF2=r，所以MF1=4-MF2，即MF1+MF2=4，所以点M的轨迹C是以F1，F2为焦点的椭圆，设椭圆的方程为+=1(a>b>0)，则有2a=4，c=1，所以a=2，b=，所以轨迹C的方程为+=1.求椭圆的标准方程例3求经过点(2，-3)，且与椭圆9x2+4y2=36有共同焦点的椭圆方程.【思维引导】椭圆9x2+4y2=36的焦点为(0，±)，因而可设所求的椭圆方程为+=1(λ>0)，由题设确定λ的值即可.【解答】因为椭圆9x2+4y2=36的焦点为(0，±)，所以可设所求的椭圆方程...
