第64课直线与圆锥曲线的综合问题(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(选修2-1P27习题4改编)曲线-x=0上一点P到直线y=x+3的最短距离为.【答案】【解析】设P(x，y)，由点到直线的距离公式得d===，所以dmin=.2.(选修2-1P44习题6改编)若椭圆+=1中过点P(1，1)的弦恰好被点P平分，则此弦所在直线的方程是.【答案】x+2y-3=0【解析】设弦的两个端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，代入椭圆方程并作差得(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)·(y1-y2)=0.又x1+x2=2，y1+y2=2，代入得=-.故所求直线的方程为y-1=-(x-1)，即x+2y-3=0.3.(选修2-1P63习题4改编)已知抛物线y2=2px(p>0)有一个内接直角三角形，直角顶点在坐标原点，斜边长是5，一条直角边所在的直线方程是y=2x，那么抛物线的方程为.【答案】y2=x【解析】由于一条直角边所在直线方程是y=2x，那么另一条直角边所在直线方程是y=-x，它们与抛物线的交点(非原点)坐标为，(8p，-4p)，由题意知=5，解得p=，所以抛物线方程为y2=x.4.(选修2-1P66复习题15改编)若斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A，B两点，则AB的最大值为.【答案】【解析】设直线l的方程为y=x+t，代入+y2=1，消去y，得x2+2tx+t2-1=0，由题意得Δ=(2t)2-5(t2-1)>0，即t2<5，弦长AB=4×≤.1.直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题可以转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题.2.直线与圆锥曲线相交弦的问题弦所在直线的方程问题，可以利用“设点代点，设而不求”的方法(设交点坐标，将交点坐标代入曲线方程，并不具体求出坐标，而是利用坐标应满足的关系直接求解).3.点差法设A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆+=1上不同的两点，且x1≠x2，x1+x2≠0，M(x0，y0)为AB的中点，则两式相减可得·=-，即kAB·=-，对于双曲线、抛物线，可得类似的结论kAB·kOM=-.4.弦长公式若直线y=kx+b与圆锥曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长为AB==·.若直线x=my+t与圆锥曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长为AB=.【要点导学】要点导学各个击破中点弦问题例1过点P(-1，1)作直线交椭圆+=1于A，B两点，若线段AB的中点恰为P，求AB所在直线的方程和线段AB的长度.【思维引导】中点弦问题一般应用点差法处理较好.【解答】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(x1-x2)(x1+x2)+2(y1-y2)(y1+y2)=0，显然x1≠x2，所以(x1+x2)+2(y1+y2)kAB=0.因为x1+x2=-2，y1+y2=2，所以kAB=，从而直线AB的方程为y-1=(x+1)，即x-2y+3=0.由得3x2+6x+1=0，解得x1=，x2=，所以AB=|x1-x2|=·=.【精要点评】点差法一般适用于求解弦的中点和弦的斜率之间的关系的问题.变式在平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：+=1(a>b>0)右焦点的直线x+y-=0交椭圆M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为，求椭圆M的方程.【解答】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则+=1，+=1，=-1，由此可得=-=1.因为x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，=，所以a2=2b2.又由题意知，M的右焦点为(，0)，故a2-b2=3，因此a2=6，b2=3.所以椭圆M的方程为+=1.定值问题例2(2015·陕西卷改编)如图，椭圆E：+=1(a>b>0)经过点A(0，-1)，且离心率为.(例2)(1)求椭圆E的方程；(2)经过点(1，1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P，Q(均异于点A)，求证：直线AP与AQ的斜率之和为2.【思维引导】问题(1)构造关于a，b的方程组求解即可；对于问题(2)，构造关于x的方程，结合两直线的斜率式子与方程的韦达关系进行代换化简.【解答】(1)由题意知=，b=1，又a2=b2+c2，解得a=，所以椭圆的方程为+y2=1.(2)由题设知，直线PQ的方程为y=k(x-1)+1(k≠2)，代入+y2=1，得(1+2k2)x2-4k(k-1)x+2k(k-2)=0，由已知Δ>0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0，则x1+x2=，x1x2=，从而直线AP与AQ的斜率之和kAP+kAQ=+=+=2k+(2-k)=2k+(2-k)=2k+(2-k)=2k-(2k-2)=2.【精要点评】定值问题常见于直线、圆及圆锥曲线的相关问题中.解决此类问题主要利用换元与化归的思想方法，有时还需要结合繁杂的运算进行必要的化简.变式(2015·全国卷)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率为，点(2，)在椭圆C上.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l不经过原点O，且不平行于坐标轴，直线l与椭圆C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，求证...
