第37练平面向量基本定理及坐标表示[基础保分练]1．已知平面向量a＝(2,1)，b＝(2，x)，且(a－2b)∥(2a＋3b)，则实数x＝________.2．已知a＝(1,3)，b＝(1，－2)，若λa＋μb＝0，则实数λ＝________，μ＝________.3．已知点A(1,1)，B(－1,5)，向量AC＝2AB，则点C的坐标为________．4．(2018·苏州模拟)已知向量a＝(3，－1)，b＝(－1,2)，c＝(2,1)，若a＝xb＋yc(x，y∈R)，则x＋y＝________.5．在梯形ABCD中，AB＝2DC，BE＝2EC，设AB＝a，AD＝b，则AE＝________.(用向量a，b表示)6．设M是△ABC的边BC上任意一点，且NM＝4AN，若AN＝λAB＋μAC，则λ＋μ＝________.7．(2018·盐城模拟)在正方形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点，若AF＝xAB＋yAE(x，y∈R)，则x＋y＝________.8.如图，在△ABC中，AD＝AC，BP＝BD，若AP＝λAB＋μAC，则的值为________．9．已知G为△ABC的重心，点P，Q分别在边AB，AC上，且存在实数t，使得PG＝tPQ.若AP＝λAB，AQ＝μAC，则＋＝________.10．如图，设O是△ABC内部一点，且OA＋OC＝－2OB，则△AOB与△AOC的面积之比为_______．[能力提升练]1．设向量a＝，b＝，若a∥b，则sin的值是________．2.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连结CE，DF交于点G，若CG＝λCD＋μCB(λ，μ∈R)，则＝________.3．已知OA＝(1,0)，OB＝(1,1)，(x，y)＝λOA＋μOB.若0≤λ≤1≤μ≤2时，z＝＋(m>0，n>0)的最大值为2，则m＋n的最小值为________．4．在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝2，∠BAD＝120°，Q是平行四边形ABCD内一点，且AQ＝1，若AQ＝xAB＋yAD，则3x＋2y的最大值是________．5．(2019·盐城模拟)若点C在以P为圆心，6为半径的(包括A，B两点)上，∠APB＝120°，且PC＝xPA＋yPB，则2x＋3y的取值范围为________．6．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5AM＝AB＋3AC，则△ABM与△ABC的面积比为________．答案精析基础保分练1．12.003.(－3,9)4.05.a＋b6.7.8.39．3解析设AB＝c，AC＝b，连结AG并延长交BC于M，此时M为BC的中点，故AM＝(b＋c)，AG＝AM＝(b＋c)，故PG＝AG－AP＝c＋b，又PQ＝AQ－AP＝μAC－λAB＝μb－λc，存在实数t使得PG＝tPQ，即解得＋＝3.10.解析如图，设M是AC的中点，则OA＋OC＝2OM.又OA＋OC＝－2OB，∴OM＝－OB，即O是BM的中点，∴S△AOB＝S△AOM＝S△AOC，即＝.能力提升练1．－2.3.＋4.25.解析以点P为原点建立如图所示的平面直角坐标系．由题意得A(6,0)，B(－3,3)，设∠APC＝θ，则点C的坐标为(6cosθ，6sinθ)．∵PC＝xPA＋yPB，∴(6cosθ，6sinθ)＝x(6,0)＋y(－3,3)＝(6x－3y,3y)，∴解得∴2x＋3y＝2＋3×sinθ＝sinθ＋2cosθ＝sin(θ＋φ)，其中sinφ＝，cosφ＝，∵0≤θ≤，∴≤sin(θ＋φ)≤1，∴2≤sin(θ＋φ)≤.∴2x＋3y的取值范围为.6.解析如图，M是△ABC所在平面内的一点，连结AM，BM，延长AC至D使AD＝3AC，延长AM至E使AE＝5AM，如图所示，因为5AM＝AB＋3AC，所以AB＝5AM－3AC＝DE，连结BE，则四边形ABED是平行四边形(向量AB和向量DE平行且模相等)，由于AD＝3AC，所以S△ABC＝S△ABD，S△AMB＝S△ABE，在平行四边形ABED中，S△ABD＝S△ABE＝平行四边形ABED面积的一半，故△ABM与△ABC的面积比＝＝.
