专题5数学归纳法【三年高考】1．【2015江苏高考，23】已知集合，，，令表示集合所含元素的个数.（1）写出的值；（2）当时，写出的表达式，并用数学归纳法证明.【解析】（1）．（2）当时，（）．下面用数学归纳法证明：3）若，则，此时有，结论成立；4）若，则，此时有，结论成立；5）若，则，此时有，结论成立；6）若，则，此时有，结论成立．综上所述，结论对满足的自然数均成立．2.【2014江苏，理23】已知函数，设为的导数，（1）求的值；（2）证明：对任意，等式都成立.【答案】(1)；（2）证明见解析．【解析】（1）由已知，，所以，，故.（1）时命题已经成立，（2）假设时，命题成立，即，对此式两边求导可得，即，因此时命题也成立.综合（1）（2）等式对一切都成立.令，得，所以.3．【2016山东文12】观察下列等式：；；；；……照此规律，_________．【答案】【解析】通过观察这一系列等式可以发现，等式右边最前面的数都是，接下来是和项数有关的两项的乘积，经归纳推理可知是，所以第个等式右边是.4．【2015高考山东，理11】观察下列各式：……照此规律，当nN时，.【答案】【2018年高考命题预测】纵观近几年各地高考试题，江苏高考对数学归纳法的考查主要在方法的运用的考查．其应用几乎涉及数学的方方面面的知识，代表研究性命题的发展趋势，该部分命题的方向主要会在函数、三角、数列、立体几何、解析几何等方面，在新的高考中都会涉及和渗透；预计2018年高考也将会有题目用到推理证明的方法。推理与证明是数学的基础思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式，推理一般包括合情推理与演绎推理，在解决问题的过程中，合情推理具有猜测结论和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养．数学归纳法是将无穷的归纳过程，根据归纳原理转化为有限的特殊（直接验证和演绎推理相结合）的过程，要很好地掌握其原理并灵活运用．复习建议：数学归纳法证明关键是解题的步骤，必须符合数学归纳法的要求，解决此类题目时要建立合理的解题思路；【2018年高考考点定位】高考的考查：数学归纳法（理科附加）内容，由于推理中的合情推理、演绎推理几乎涉及数学的方方面面的知识，代表研究性命题的发展趋势，选择题、填空题、解答题都可能涉及到，该部分命题的方向主要会在函数、三角、数列、立体几何、解析几何等方面，因此数学归纳法的应用是方方面面的，在高考中会涉及和渗透，但不可能单独出题，一般可能在附加综合题中在涉及到无穷的过程时考查数学归纳法．【考点1】数学归纳法【备考知识梳理】1.一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法．根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为完全归纳法和不完全归纳法．2．数学归纳法：设是一个与正整数相关的命题集合，如果：①证明起始命题(或)成立；②在假设成立的前提下，推出也成立，那么可以断定对一切正整数成立．3.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤为：①归纳奠基：证明当取第一个自然数时命题成立；②归纳递推：假设，(，)时，命题成立，证明当时，命题成立；③由①②得出结论．【规律方法技巧】1.明确数学归纳法的两步证明数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，它们的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可．第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在n＝k＋1时一定要运用它，否则就不是数学归纳法．第二步的关键是“一凑假设，二凑结论”．2.用数学归纳法证明等式应注意的问题(1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，以及初始值的值．(2)由到时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利用时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．弄清左端应增加的项，明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等．简言之：两个步骤、一个结论；递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉．[来3.数学归纳法证明不等式的注意问题(1)当遇到与正整数有关的不等式证明时，...
