专题四立体几何专项训练一、选择题1．如图，点E是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱DD1的中点，则过点E且与直线AB、B1C1都相交的直线的条数是A．0B．1C．2D．无数条2．P是正三棱锥P—ABC的侧棱PC上一点（侧棱端点除外），则∠APB的大小满足（）A．B．C．D．的平行光线照射，其在水平面上的投影是一个长半轴为5m的椭圆，则制造这个广告气球至少需要的面料是（）A．100m2B．100m2C．100m2D．100m2.4．正四棱锥的底面边长为x，侧棱长为y，则的取值范围是（）A．B．C．D．5.长方体的各顶点都在半径为R的球面上，则该长方体的最大体积是A．B．C．D．6.在水平横梁上A、B两点各挂长为50cm的细线AM，BN，|AB|=60cm，在MN处挂长为60cm的木条MN平行于横梁，木条中点为O，假设木条绕其中点O水平方向旋转，则木条比原来升高了A．10cmB．5cmC．D．7．正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，点M在棱AB上，且AM=，点P是平面ABCD内的动点，且点P到直线A1DA的间隔与点P到点M的间隔的平方差等于1，则点P的轨迹是（）A．抛物线B．双曲线C．直线D．以上都不对8．如图，已经知道正方体上、下底面中心分别为，将正方体绕直线旋转一周，其中由线段旋转所得图形是（）二、填空题9．在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为平行四边形，PA=a，AB＝2PA，ABC＝60，则D到平面PBC的间隔为________________．10．设是异面直线，点A、B在上运动，，点C、D在上运动，，E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点.给出以下命题：①四面体ABCD的体积是常数；②四边形EFGH的面积是常数；③可能与平面AEC都成900；④四边形EFGH是菱形.其中正确命题的序号是__________.11．如图，正四棱锥V—ABCD的侧棱长与底边长相等，点E是棱VA的中点，点O是底面中心，则异面直线EO与BC所成的角是________________12．有一个正四棱锥，它的底面边长和侧棱长均为，如今要用一张正方形的包装纸将它完全包住．（不能裁剪纸，但能够折叠）那么包装纸的最小边长应为__________________．三、解答题a的正三角形的三个角处各剪去一个四边形．这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的，同时这三个四边形也全等，如左图．假设用剩下的部分折成一个无盖的正三棱柱描述器，如右图．则当容器的高为多少时，可使这个容器的容积最大，并求出容积的最大值．14.直三棱柱中，，，为棱的中点．（1）求异面直线与所成的角；（2）求平面与平面所成的角的大小．15.四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，边长为a，PD=a，PA=PC=⑴求证：PD⊥平面ABCD⑵求异面直线PB与AC所成的角⑶求二面角A－PB－D的大小⑷在这个四棱锥中放入一个球，求球的最大半径⑸求四棱锥外接球的半径16.如图，在直四棱柱中，底面是梯形，且，，，是棱的中点．（1）求证：；（2）求点到平面的间隔；（3）求二面角的大小．专题四立体几何专项训练参考答案一、选择题DABBDABD8．显然在旋转过程中，线段上任意一点到轴的中点为M，线段的中点为O，则OM是异面直线和N是线段上任意一点，N在轴上的射影为P，我们只需研究在静止状态下线段MN与PN的函数关系即可.如图，以正方体的中心O为原点建立空间直角坐标系，不失一般性，设点N在线段MC1上.设正方体边长为2，，，则由异面直线和所成角为450知，故在Rt△OPN中，由得：，即与满足双曲线关系，应选D.二、填空题9．a;10．①②④;11．;12．三、解答题13.解析：设容器的高为x．则容器底面正三角形的边长为,.当且仅当.故当容器的高为时，容器的容积最大，其最大容积为14.解法一：（1）连结交于点，取中点，连结，则∥．∴直线与所成的角确实是异面直线与所成的角．设，则，．．中，，，直三棱柱中，，则．．，异面直线与所成的角为．（2）直三棱柱中，，平面．则．又，，，则，因此．平面．又平面，平面平面．故平面与平面所成的角为900.解法二：（1）建立如下图的空间直角坐标系.设，则，因此．，异面直线与所成的角为．（2），.则．平面．平面平面，故平面与平面所成的角为900.15.解析：（1）要证PD⊥平面ABCD，只需证PD垂直于平面ABCD内的两条相交线，而所给已经知道量都是数，故可考虑勾股定理的逆定理 PD=a，AD=a，PA=∴PD2+DA2=PA2同理∴∠PDA=90°即PD⊥...
