09级数模试题1.把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。（15分）解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定的。因此对这个问题我们假设：（1）地面为连续曲面（2）长方形桌的四条腿长度相同（3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的（4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。以长方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图所示，方桌的四条腿分别在A、B、C、D处，A、B,C、D的初始位置在与x轴平行，再假设有一条在x轴上的线ab,则ab也与A、B，C、D平行。当方桌绕中心0旋转时，对角线ab与x轴的夹角记为。容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。为消除这一不确定性，令()f为A、B离地距离之和，()g为C、D离地距离之和，它们的值由唯一确定。由假设（1），()f,()g均为的连续函数。又由假设（3），三条腿总能同时着地，故()f()g=0必成立（）。不妨设(0)0f,(0)0gg（若(0)g也为0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归结为：已知()f,()g均为的连续函数，(0)0f,(0)0g且对任意有00()()0fg，求证存在某一0，使00()()0fg。证明：当θ=π时，AB与CD互换位置，故()0f，()0g。作()()()hfg，显然，()h也是的连续函数，(0)(0)(0)0hfg而()()()0hfg，由连续函数的取零值定理，存在0，00，使得0()0h，即00()()fg。又由于00()()0fg，故必有00()()0fg，证毕。2.学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学生们要组织一个10人的委员会，试用合理的方法分配各宿舍的委员数。（15分）解：按各宿舍人数占总人数的比列分配各宿舍的委员数。设：A宿舍的委员数为x人，B宿舍的委员数为y人，C宿舍的委员数为z人。计算出人数小数点后面的小数部分最大的整数进1，其余取整数部分。则x+y+z=10；x/10=235/1000；y/10=333/1000；z/10=432/1000；0x100y10，x,y,z为正整数；0z10解得：x=3y=3z=43.一饲养场每天投入5元资金用于饲料、设备、人力，估计可使一头80公斤重的生猪每天增加2公斤。目前生猪出售的市场价格为每公斤8元，但是预测每天会降低0.1元，问该场应该什么时候出售这样的生猪可以获得最大利润。（15分）解：设在第t天出售这样的生猪（初始重80公斤的猪）可以获得的利润为z元。每头猪投入：5t元产出：（8-0.1t）（80+2t）元利润：Z=5t+（8-0.1t）（80+2t）=-0.2t^2+13t+640=-0.2（t^2-65t+4225/4）+3405/4当t=32或t=33时，Zmax=851.25(元)因此，应该在第32天过后卖出这样的生猪，可以获得最大利润。4.一奶制品加工厂用牛奶生产A1，A2两种奶制品，1桶牛奶可以在设备甲上用12小时加工成3公斤A1，或者在设备乙上用8小时加工成4公斤A2。根据市场需求，生产的A1，A2全部能售出，且每公斤A1获利24元，每公斤A2获利16元。现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天工人总的劳动时间为480小时，并且设备甲每天至多能加工100公斤A1，设备乙的加工能力没有限制。（1）试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大。（2）33元可买到1桶牛奶，买吗？（3）若买，每天最多买多少?（4）可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元?(5)A1的获利增加到30元/公斤，应否改变生产计划？（15分）解：设：每天生产将x桶牛奶加工成A1，y桶牛奶加工成A2，所获得的收益为Z元。加工每桶牛奶的信息表:产品A1A2所需时间12小时8小时产量3公斤4公斤获利/公斤24元16元(1)x+y<=5012x8y48003x100y0Z=24*3x+16*4y=72x+64y解得，当x=20，y=30时，Zmax=3360元则此时，生产生产计划为20桶牛奶生产A1，30桶牛奶生产A2。（2）设：纯利润为W元。W=Z-33*(x+y)=39x+31y=3360-33*50=1710(元)>0则，牛奶33元/桶可以买。(3)若不限定牛奶的供应量，则其优化条件变为：12x8y48003x100y0W=39x+31y解得，当x=0，y=60时，Wmax=1860元则最多购买60桶牛奶。(4)若将全部的利润用来支付工人工资，设工资最高为n元。n=Wmax/480=3....
