导数与数列不等式1．设函数)1ln(2)1()(2xxxf（1）若关于x的不等式0)(mxf在]1,0[e有实数解，求实数m的取值范围；（2）设1)()(g2xxfx，若关于x的方程px)(g至少有一个解，求p的最小值.（3）证明不等式：nn131211)1ln()(*Nn（4）证明不等式：1n＋1＋1n＋2＋⋯＋1n＋n＋1>ln2(n∈N*)．2（Ⅰ）当92a时，设gxfxk()()，如果函数xg仅有一个零点，求实数k的取值范围；（Ⅱ）当2a时，试比较fx()与1的大小；（Ⅲ）求证：1111ln135721nnL()n*N()3．已知函数.（1）求的单调区间和极值；的极大值为（2）求证：.4.已知函数kxxf)(，xxxgln)(（1）求函数xxxgln)(的单调区间（2）若不等式)()(xgxf在),0(上恒成立，求k的取值范围。（3）ennn21ln245.已知函数xttxxfln)(。（1）若函数)(xf在),1[上为增函数，求t的取值范围。()2ln(1)(0)fxaxxa()fx()fx2ln221aaa(1)lglglg4lglg(1)23nnnneeeeenn*()nN（2）当时且2*nNn，证明nnlnln13ln12ln16.已知函数()ln1fxxx?(1)求()fx的最大值;(2)证明不等式:*121nnnnenNnnneL7.已知函数2ln1fxxx(1)当0x时,求证:3;fxx(2)当nN时,求证:33311111511...23421nkfknnn8.已知函数2()2ln1fxaxx?(1)当1a时,求函数()fx的单调区间及()fx的最大值;(2)令()()gxfxx,若()gx在定义域上是单调函数,求a的取值范围;(3)对于任意的*2,nnN,试比较22222ln2ln3ln4ln5lnnL与232(1)nnnn的大小并证明你的结论?9.已知函数ln0fxxaxa(1)若1a,求fx的单调区间及fx的最小值;(2)若0a,求fx的单调区间;(3)试比较222222121ln2ln3ln...2,2321nnnnnNnn与的大小,并证明?10.已知函数)0()(acxbaxxf的图像在点))1(,1(f处的切线方程为1xy?(1)用a表示出cb,;(2)若xxfln)(在),1[上恒成立,求a的取值范围;(3)证明:)1()1(2)1ln(131211nnnnn.11.设函数()ln(1),()'(),0fxxgxxfxx，其中'()fx是()fx的导函数.（1）11()(),()(()),nngxgxgxggxnN，求()ngx的表达式；（2）若()()fxagx恒成立，求实数a的取值范围；（3）设nN，比较(1)(2)()gggnL与()nfn的大小，并加以证明.解：由题设得，()(0)1xgxxx（Ⅰ）由已知，1211(),()(())11211xxxxgxgxggxxxxx3()13xgxx，⋯，可得()1nxgxnx下面用数学归纳法证明①当1n时，1()1xgxx，结论成立②假设nk时结论成立，即()1kxgxkx那么1nk时，11()(())1(1)11kkxxkxgxggxxkxkx即结论成立由①②可知，结论对nN成立。（Ⅱ）已知()()fxagx恒成立，即ln(1)1axx恒成立设()ln(1)(0)1axxxxx，则2211()1(1)(1)axaxxxx当1a时，()0x（仅当0,1xa时等号成立）所以()x在[0,)上单调递增，又(0)0，所以()0x在[0,)上恒成立，所以1a时，ln(1)1axx恒成立（仅当0x时等号成立）当1a时，对(0,1]xa有()0x，所以()x在(0,1]a上单调递减，所以(1)(0)0a即1a时，存在0x，使()0x，故知ln(1)1axx不恒成立，综上可知，a的取值范围是(,1]（Ⅲ）由题设知12(1)(2)...()...231ngggnn，()ln(1)nfnnn，比较结果为(1)(2)...()ln(1)gggnnn证明如下：证法一：上述不等式等价于111...ln(1)231nn，在（Ⅱ）中取1a，可得ln(1),01xxxx令1,xnNn，则11ln1nnn下面用数学归纳法证明。①当1n时，1ln22，结论成立②假设当nk时结论成立，即111...ln(1)231kk那么，当1nk时，111112...ln(1)ln(1)lnln(2)231221kkkkkkkk即结论成立，由①②可知，结论对nN成立。证法二：上述不等式等价于111...ln(1)231nn，在（Ⅱ）中取1a，可得ln(1),01xxxx令1,xnNn，则11ln1nnn故有1ln2ln12，1ln3ln23，⋯⋯1ln(1)ln1nnn，上述各式相加可得111ln(1)...231nn结论得证。证法三：如图，01nxdxx是由曲线,1xyxnx及x轴所围成的曲边梯形的面积，而12...231nn是图中所示各矩形的面积和。所以00121...(1)ln(1)23111nnnxdxdxnnnxx，结论得证。
