页眉内容数列求和的七种基本方法甘志国部分内容(已发表于数理天地(高中)，2014(11)：14-15)数列求和是数列问题中的基本题型，但具有复杂多变、综合性强、解法灵活等特点，本文将通过例题(这些例题涵盖了2014年高考卷中的数列求和大题)简单介绍数列求和的七种基本方法.1运用公式法很多数列的前n项和nS的求法，就是套等差、等比数列nS的公式，因此以下常用公式应当熟记：还要记住一些正整数的幂和公式：例1已知数列}{na的前n项和232nnSn，求数列}{na的前n项和nT.解由232nnSn,可得nan233,160nan，所以：(1)当16n时,nT=232nnSn.(2)当17n时，所以2232(1,2,,16)32512(17,)nnnnTnnnnNL且例2求1)2(3)1(21nnnnSn.解设2)1()1(knkknkak，本题即求数列}{ka的前n项和.高考题1(2014年高考浙江卷文科第19题(部分))求数列21n的前n项和nS.答案：2nSn.高考题2(2014年高考四川卷理科第19题(部分))求数列24n的前n项和nS.答案：23nSnn.高考题3(2014年高考福建卷文科第17题)在等比数列{}na中，253,81aa.(1)求na；(2)设3lognnba，求数列{}nb的前n项和nS.答案：(1)13nna；(2)22nnnS.高考题4(2014年高考重庆卷文科第16题)已知na是首项为1，公差为2的等差数列，页眉内容nS表示na的前n项和.(1)求na及nS；(2)设nb是首项为2的等比数列，公比q满足244(1)0qaqS，求nb的通项公式及其前n项和nT.答案：(1)221,nnanSn；(2)2122,(41)3nnnnbT.2倒序相加法事实上，等差数列的前n项和nS的公式推导方法就是倒序相加法.例3求正整数m与()nmn之间的分母为3的所有既约分数的和S.解显然，这些既约分数为：有)31()32()34()34()32()31(nnnmmmS也有)31()32()34()34()32()31(mmmnnnS所以2222),(2)(2)(2mnSmnmnnmS例4设4()42xxfx，求和12320012002200220022002ffffL.解可先证得()(1)1fxfx，由此结论用倒序相加法可求得答案为20012.3裂项相消法例5若}{na是各项均不为0的等差数列，求证：1113221111nnnaanaaaaaa.证明设等差数列}{na的公差为d：若0d，要证结论显然成立；若0d，得例8证明222211112(123nnNL且2)n.证明22221312111n高考题5(2014年高考全国大纲卷理科第18题)等差数列{}na的前n项和为nS，已知110a，2a为整数，且4nSS.(1)求{}na的通项公式；页眉内容(2)设11nnnbaa，求数列{}nb的前n项和nT.答案：(1)133nan；(2)10(103)nnSn.高考题6(2014年高考广东卷文科第19题)设各项均为正数的数列na的前n项和为nS，且nS满足NnnnSnnSnn,033222.(1)求1a的值；(2)求数列na的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有31)1(1)1(1)1(12211nnaaaaaa.答案：(1)12a；(2)2nan；(3)当1n时，可得欲证成立.当2n时，111111(1)2(21)(21)(21)22121nnaannnnnn，再用裂项相消法可得欲证.高考题7(2014年高考山东卷理科第19题)已知等差数列}{na的公差为2，前n项和为nS，且1S，2S，4S成等比数列.(1)求数列}{na的通项公式；(2)令nb=,4)1(11nnnaan求数列}{nb的前n项和nT.答案：(1)21nan，2221221nnnnTnnn为奇数为偶数.4分组求和法例9求11111111111224242nnSLL.解设11111242nnaL，得1122nna.页眉内容所以本题即求数列1122n的前n项和：例10设数列}{na的前n项和nS满足221nnaS，又nnnSb)1(，求数列}{nb的前n项和nT.解在221nnaS中，令1n可求得11a.还可得相减，得所以}{na是首项为1公差为2的等差数列，得所以222)1(,21nbnaSnnnn当n为偶数时，当n为奇数时，总之，2)1()1(nnTnn.高考题8(2014年高考北京卷文科第15题)已知na是等差数列，满足13a，412a，数列nb满足14b，420b，且nnba是等比数列.(1)求数列na和nb的通项公式；(2)求数列nb的前n项和.答案：(1)1=3,=32nnnanbn；(2)3(1)212nnn.高考题9(2014年高考山东卷文科第19题)在等差数列{}na中，已知公差2d，2a是1a与4a的等比中项.(1)求数列{}na的通项公式；(2)设(1)2nnnba，记1234(1)nnnTbbbbb⋯，求nT.答案：(1)2nan，2(1)2(1)2nnnTnnn为奇数为偶数.页眉内容高考题10(2014年高考浙江卷理科第19题(部分))求数列12(1)nnn的前n项和nS.答案：1221nnn.5错位相减法高考题11(2014年高考江西卷理科第17题)已知首项都是1的两个数列nbbannn,0(,N*)满足02111nnnnnnbbbaba.(1)令nnnbac，求数列nc的通项公式；(2)若13nnb，求数列na的前n项和nS...
