数列分组求和法(新)VIP免费

所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。任何知识都不能带给你好运，但是它们能让你悄悄的成为你自己。1分组求和法典题导入[例1](2011·山东高考)等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nlnan，求数列{bn}的前2n项和S2n.[自主解答](1)当a1＝3时，不合题意；当a1＝2时，当且仅当a2＝6，a3＝18时，符合题意；当a1＝10时，不合题意．因此a1＝2，a2＝6，a3＝18.所以公比q＝3，故an＝2·3n－1.(2)因为bn＝an＋(－1)nlnan＝2·3n－1＋(－1)nln(2·3n－1)＝2·3n－1＋(－1)n(ln2－ln3)＋(－1)nnln3，所以S2n＝b1＋b2＋⋯＋b2n＝2(1＋3＋⋯＋32n－1)＋[－1＋1－1＋⋯＋(－1)2n](ln2－ln3)＋[－1＋2－3＋⋯＋(－1)2n2n]ln3＝2×1－32n1－3＋nln3＝32n＋nln3－1.由题悟法分组转化法求和的常见类型(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和．(2)通项公式为an＝bn，n为奇数，cn，n为偶数的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．以题试法1．(2013·威海模拟)已知数列{xn}的首项x1＝3，通项xn＝2np＋nq(n∈N*，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列．求：(1)p，q的值；(2)数列{xn}前n项和Sn的公式．所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。任何知识都不能带给你好运，但是它们能让你悄悄的成为你自己。2解：(1)由x1＝3，得2p＋q＝3，又因为x4＝24p＋4q，x5＝25p＋5q，且x1＋x5＝2x4，得3＋25p＋5q＝25p＋8q，解得p＝1，q＝1.(2)由(1)，知xn＝2n＋n，所以Sn＝(2＋22＋⋯＋2n)＋(1＋2＋⋯＋n)＝2n＋1－2＋nn＋12.2.数列112，314，518，7116，⋯的前n项和Sn为()．A．n2＋1－12n－1B．n2＋2－12nC．n2＋1－12nD．n2＋2－12n－1解析由题意知已知数列的通项为an＝2n－1＋12n，则Sn＝n1＋2n－12＋121－12n1－12＝n2＋1－12n.答案C3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＝5，S15＝225.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2an＋2n，求数列{bn}的前n项和Tn.解析：(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由题意，得a1＋2d＝5，15a1＋15×142d＝225，解得a1＝1，d＝2，∴an＝2n－1.(2) bn＝2an＋2n＝12·4n＋2n，∴Tn＝b1＋b2＋⋯＋bn＝12(4＋42＋⋯＋4n)＋2(1＋2＋⋯＋n)所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。任何知识都不能带给你好运，但是它们能让你悄悄的成为你自己。3＝4n＋1－46＋n2＋n＝23·4n＋n2＋n－23.4.设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2，a3＝a2＋4.(1)求{an}的通项公式；(2)设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an＋bn}的前n项和Sn.解析(1)设q为等比数列{an}的公比，则由a1＝2，a3＝a2＋4得2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，因此q＝2.所以{an}的通项为an＝2·2n－1＝2n(n∈N*)(2)Sn＝21－2n1－2＋n×1＋nn－12×2＝2n＋1＋n2－2.5.求和Sn＝1＋1＋12＋1＋12＋14＋⋯＋1＋12＋14＋⋯＋12n－1.解和式中第k项为ak＝1＋12＋14＋⋯＋12k－1＝1－12k1－12＝21－12k.∴Sn＝21－12＋1－122＋⋯＋1－12n＝2[(1＋1＋⋯＋1n个－(12＋122＋⋯＋12n)]＝2n－121－12n1－12＝12n－1＋2n－2.6.数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝2，an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N*)，则S100＝________.答案2600解析由an＋2－an＝1＋(－1)n知a2k＋2－a2k＝2，a2k＋1－a2k－1＝0，∴a1＝a3＝a5＝⋯＝a2n－1＝1，数列{a2k}是等差数列，a2k＝2k.∴S100＝(a1＋a3＋a5＋⋯＋a99)＋(a2＋a4＋a6＋⋯＋a100)＝50＋(2＋4＋6＋⋯＋100)＝50＋100＋2×502＝2600.7.求和：(1)Sn＝32＋94＋258＋6516＋⋯＋n·2n＋12n；(2)Sn＝x＋1x2＋x2＋1x22＋⋯＋xn＋1xn2.解(1)由于an＝n·2n＋12n＝n＋12n，∴Sn＝1＋121＋2＋122＋3＋123＋⋯＋n＋12n＝(1＋2＋3＋⋯＋n)＋12＋122＋123＋⋯＋12n所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人...