.;.周期数列一、周期数列的定义：类比周期函数的概念，我们可定义：对于数列}{na，如果存在一个常数T)(NT，使得对任意的正整数0nn恒有nTnaa成立，则称数列}{na是从第0n项起的周期为T的周期数列。若10n，则称数列}{na为纯周期数列，若20n，则称数列}{na为混周期数列，T的最小值称为最小正周期，简称周期。设{An}是整数,m是某个取定的大于1的正整数,若Bn是An除以m后的余数,即Bn=An(modm),且Bn在{0,1,2,...,m-1},则称数列{Bn}是{An}关于m的模数列,记作{An(modm)}。若模数列{An(modm)}是周期的,则称{An}是关于模m的周期数列。二、周期数列的性质1、周期数列是无穷数列，其值域是有限集；2、如果T是数列}{na的周期，则对于任意的Nk，kT也是数列}{na的周期。3、若数列}{na满足21nnnaaa（Nn，且2n），则6是数列的一个周期。4、已知数列}{na满足ntnaa（Ntn,，且t为常数），nS分别为}{na的前n项的和，若rqtn（tr0，Nr），则rnaa，rtnSqSS。特别地：数列}{na的周期为6，（即：nnaa6）则262012335SSS5、若数列}{na满足saaknn),(Nnkn，则数列}{na是周期数列；若数列}{na满足saaaknnn1),(Nnkn，则数列}{na是周期数列。若数列}{na满足saaaknnn1)0,,(sNnkn，则数列}{na是周期数列。特别地：数列}{na满足saann1),(Nnkn，则数列}{na周期T=2；数列}{na满足saaannn21),(Nnkn，则数列}{na周期T=3数列}{na满足saann1),(Nnkn，则数列}{na周期T=2；数列}{na满足saaannn21),(Nnkn，则数列}{na周期T=3.;.6、若数列}{na满足,11dcabaaannna+d=0,则数列}{na是周期T=2；例：数列}{na满足,37311nnnaaa则数列}{na是周期T=2；；三、周期数列性质的简单应用1、求数列的通项公式（1）数列1，2，1，2，1，2，⋯的通项公式解析：原数列可构造成：2123，2123，2123，2123，2123，2123，⋯⋯，它的通项公式可以写成：21)1(23nna(n∈N)，或者写成：)2sin(2123nan(n∈N)，又或者写成：nancos2123(n∈N)，总结：一般的数列a，b，a，b，a，b，⋯⋯它的通项公式可以写成：nabbaancos)(21)(21(n∈N)（2）1，0，1，1，0，1，⋯⋯的通项公式解析：该数列周期为3，我们把它与周期为π的函数xytan进行改造，使它们能发生联系。事实上，当x分别为3，0，3，32，，34，⋯⋯时，xtan的值分别为3，0，3，3，0，3，⋯⋯这样1，0，1，1，0，1，⋯⋯的通项公式可以写成：)2tan(31n所以，原数列的通项公式为)2tan(312nbn(n∈N)（3）数列}c{n：1，2，3，4，1，2，3，4，⋯⋯的通项公式.;.解析：将原数列扩大2倍：2，4，6，8，2，4，6，8，⋯⋯再减去平均数5得到：3，1，1，3，3，1，1，3，⋯⋯分解成两个数列：(1)1，1，1，1，1，1，1，1，⋯⋯(2)2，2，2，2，2，2，2，2，⋯⋯(1)的通项公式为n)1(易得，(2)的通项只要求出1，1，1，1，1，1，1，1，⋯⋯的通项便可以了，它与(2)相差一个系数2。以上数列的符号与正弦函数在四个象限的符号完全一致，它通项：)4121sin(21ncn(n∈N)，∴2，2，2，2，2，2，2，2，⋯⋯的通项为：)4121sin(222ncn(n∈N)，∴3，1，1，3，3，1，1，3，⋯⋯的通项为：)4121sin(22)1(3ncnn(n∈N)，则原数列}c{n的通项为：)]4121sin(22)1(5[21ncnn(n∈N)。（4）}{nc：1，1，1，1，2，2，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，⋯⋯的通项公式乘以(－4)得：4，4，4，4，8，8，8，8，12，12，12，12，⋯⋯，加上(n+4)得：1，2，3，4，1，2，3，4，1，2，3，4，⋯⋯，它的通项公式为：.;.)]4121sin(22)1(5[21'ncnn又)4(4'nccnn化简整理得：]4121sin(22)1(32[81nncnn(n∈N)。2、求数列中的项例3（由第十四届希望杯改编）、已知数列}{na中，5,321aa且对于大于2的正整数，总有21nnnaaa，则2009a等于（）．A．-5B．-2C．2D．3．解析：由性质（2）知，数列}{na是以6为周期的周期数列，而533462009，再由性质（3）可得5)(3233452009aaaaaaa，故选A．例4（上海中学数学杂志2000年的第1期）、已知实数列}{na满足aa1（a为实数），11313nnnaaa(Nn)，求2000a．解：11313nnnaaa(Nn)可变形为1133133nnnaaa．我们发现1133133nnnaaa与三角式6tantan16tantan)6tan(xxx十分相似，因此可把此三角式认为是原递推关系的原型．通过运算，发现本题中可取na=6...
