2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系一、空间两直线的位置关系1．异面直线（1）异面直线的定义：我们把不同在的两条直线叫做异面直线.即若a,b是异面直线，则不存在平面α，使aα且bα.（2）异面直线的画法：为了表示异面直线不共面的特点,通常用一个或两个平面衬托,如图：2．空间两直线的位置关系空间两条直线的位置关系有且只有三种：相交、平行和异面.（1）——同一平面内,有且只有一个公共点；（2）——同一平面内,没有公共点；学！科网（3）——不同在任何一个平面内，没有公共点.3．空间中两直线位置关系的分类空间中两条直线的位置关系有以下两种分类方式：（1）从有无公共点的角度分类：两条直线有且仅有一个公共点：相交直线直线平行直线两条直线无公共点：异面直线（2）从是否共面的角度分类：相交直线共面直线直线平行直线不共面直线：异面直线二、公理4与等角定理1．公理4（1）自然语言：平行于同一条直线的两条直线互相.（2）符号语言：a,b,c是三条不同的直线,a∥b，b∥c.（3）作用：判断或证明空间中两条直线平行.公理4表述的性质也通常叫做空间平行线的传递性.用公理4证明空间两条直线a,c平行的步骤（1）找到直线b；（2）证明a∥b，b∥c；（3）得到a∥c.2．等角定理（1）自然语言：空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角.（2）符号语言：如图（1）（2）所示，在∠AOB与∠A′O′B′中，OA∥O′A′,OB∥O′B′，则∠AOB=∠A′O′B′或∠AOB+∠A′O′B′=180°.图（1）图（2）三、异面直线所成的角1．两条异面直线所成的角的定义如图,已知两异面直线a,b,经过空间任一点O,分别作直线a′∥a,b′∥b,相交直线a′，b′所成的叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）.（1）在定义中,空间一点O是任取的,根据等角定理,可以判定a′，b′所成的角的大小与点O的位置无关.为了简便，点O常取在两条异面直线中的一条上.（2）研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线，即把求空间角问题转化为求平面角问题，这是研究空间图形的一种基本思路.2．异面直线所成的角的范围异面直线所成的角必须是锐角或直角，则这个角α的取值范围为.3．两条异面直线垂直的定义如果两条异面直线所成的角是，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a,b,记作a⊥b.4．构造异面直线所成角的方法（1）过其中一条直线上的已知点（往往是特殊点）作另一条直线的平行线；（2）当异面直线依附于某几何体，且直接平移异面直线有困难时，可利用该几何体的特殊点，将两条异面直线分别平移相交于该点；（3）构造辅助平面、辅助几何体来平移直线.注意，若求得的角为钝角，则两异面直线所成的角应为其补角.学科*网5．求两条异面直线所成的角的步骤（1）平移：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条，使其成为相交直线；（2）证明：证明作出的角就是要求的角；（3）计算：求角度（常利用三角形的有关知识）；（4）结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角．K知识参考答案：一、1．（1）任何一个平面内2．（1）相交直线（2）平行直线（3）异面直线二、1．（1）平行（2）a∥c2．（1）相等或互补三、1．锐角（或直角）2．0903．直角K—重点K—难点K—易错掌握公理4及等角定理，异面直线及其所成的角理解两异面直线所成角的定义，并会求两异面直线所成的角忽略异面直线所成的角的范围致误1．空间两直线的位置关系的判断空间两直线的位置关系有平行、相交、异面三种情形，因此对于空间两直线位置关系的判断，应由题意认真分析，进而确定它们的位置关系.【例1】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为A．③④C．①③B．①②D．②④【答案】A【解析】 A、M、C、C1四点不共面，∴直线AM与CC1是异面直线，故①错误；同理，直线AM与BN也是异面直线，故②错误．同理，直线BN与MB1是异面直线，...
