突破点12立体几何中的向量方法提炼1两条异面直线的夹角(1)两异面直线的夹角θ∈.(2)设直线l1，l2的方向向量为s1，s2，则cosθ＝|cos〈s1，s2〉|＝.提炼2直线与平面的夹角(1)直线与平面的夹角θ∈.(2)设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos〈a，n〉|＝.提炼3两个平面的夹角(1)两个平面的夹角θ∈.(2)设平面π1与π2的法向量分别为n1与n2，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝.回访1直线与平面的夹角1．(2015·全国卷Ⅱ)如图121，长方体ABCDA1B1C1D1中，图121AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求直线AF与平面α所成角的正弦值．解](1)交线围成的正方形EHGF如图所示．5分(2)作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A1E＝4，EM＝AA1＝8.因为四边形EHGF为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10.于是MH＝＝6，所以AH＝10.7分以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(10,0,0)，H(10,10,0)，E(10,4,8)，F(0,4,8)，FE＝(10,0,0)，HE＝(0，－6,8).8分设n＝(x，y，z)是平面EHGF的法向量，则即所以可取n＝(0,4,3).10分又AF＝(－10,4,8)，故|cos〈n，AF〉|＝＝.所以AF与平面EHGF所成角的正弦值为.12分回访2两个平面的夹角2．(2016·全国甲卷)如图122，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB＝5，AC＝6，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF＝，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′＝.图122(1)证明：D′H⊥平面ABCD；(2)求二面角BD′AC的正弦值．解](1)证明：由已知得AC⊥BD，AD＝CD.又由AE＝CF得＝，故AC∥EF.2分因此EF⊥HD，从而EF⊥D′H.由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝＝4.由EF∥AC得＝＝.所以OH＝1，D′H＝DH＝3.于是D′H2＋OH2＝32＋12＝10＝D′O2，故D′H⊥OH.4分又D′H⊥EF，而OH∩EF＝H，所以D′H⊥平面ABCD.5分(2)如图，以H为坐标原点，HF的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系Hxyz，则H(0,0,0)，A(－3，－1,0)，B(0，－5,0)，C(3，－1,0)，D′(0,0,3)，AB＝(3，－4,0)，AC＝(6,0,0)，AD′＝(3,1,3).8分设m＝(x1，y1，z1)是平面ABD′的法向量，则即所以可取m＝(4,3，－5)．设n＝(x2，y2，z2)是平面ACD′的法向量，则即所以可取n＝(0，－3,1).10分于是cos〈m，n〉＝＝＝－.sin〈m，n〉＝.因此二面角BD′AC的正弦值是.12分热点题型1向量法求线面角题型分析：向量法求线面角是高考中的常考题型，求解过程中，建系是突破口，求直线的方向向量与平面的法向量是关键.(2016·全国丙卷)如图123，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．图123(1)证明MN∥平面PAB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．解](1)证明：由已知得AM＝AD＝2.取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC的中点知TN∥BC，TN＝BC＝2.又AD∥BC，故TN綊AM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT.因为AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，所以MN∥平面PAB.4分(2)取BC的中点E，连接AE.由AB＝AC得AE⊥BC，从而AE⊥AD，且AE＝＝＝.6分以A为坐标原点，AE的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.由题意知P(0,0,4)，M(0,2,0)，C(，2,0)，N，8分PM＝(0,2，－4)，PN＝，AN＝.设n＝(x，y，z)为平面PMN的法向量，则即可取n＝(0,2,1).10分于是|cos〈n，AN〉|＝＝.所以直线AN与平面PMN所成角的正弦值为.12分向量法求线面角的一般步骤1．建立恰当的空间直角坐标系，求出相关点的坐标．2．写出相关向量的坐标．3．求平面的法向量．4．求线面角的正弦值．5．转化为几何结论．提醒：直线和平面所成角的正弦值等于平面法向量与直线方向向量夹角的余弦值的绝对值，即注意函数名称的变化．变式训练1](2016·呼和浩特二模)如图124，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB＝60°，PD⊥平面ABCD，PD＝AD＝1，点E，F分别为AB和PD的中点．图124(1)求证：直线AF∥平面PEC；(2)求PE与平面PBC所成角的正弦值．【导学号：85952043】解](1)证明：作FM∥CD交PC于点M，连接EM. 点F为PD的中点，∴FM＝CD. AE＝AB，AB＝CD...
