函数模型的应用实例VIP专享VIP免费

一、新课引入到目前为止，我们已经学习了哪些常用函数？一次函数二次函数指数函数对数函数幂函数baxy)1,0(aaayx且)1,0(logaaxya且axycbxaxy2（a≠0）大家首先来看一个例子邮局规定，邮寄包裹，在5千克内每千克5元，超过5千克的超出部分按每千克3元收费，邮费与邮寄包裹重量的函数关系式为____．)5()5(325)5(5＞xxxxf（x）＝从中可以知道，函数与现实世界有着紧密的联系，有着广泛应用的，那么我们能否通过更多的实例来感受它们的应用呢？若能的话，那么如何在实际问题中建立函数模型呢？例3一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图3.2-7所示。（1）求图3.2-7中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；解：（1）阴影部分的面积为50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360kmt/hv/(kmh-1)90705060301020408012345图3.2-7（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数skm与时间th的函数解析式，并作出相应的图象。这个函数的图象如图3.2-8所示S=解：根据图3.2-7，有50t+200480(t-1)+205490(t-2)+213475(t-3)+222465(t-4)+22990≤t＜11≤t＜22≤t＜33≤t＜44≤t＜5t01234520002100220023002400图3.2-8st/hv/(kmh-1)90705060301020408012345图3.2-7从这个练习我们看到，在解决实际问题的过程中，图象函数是能够发挥很大的作用，因此，我们应当注意提高读图的能力。另外，在本题中我们用到了分段函数，由此我们也知道，分段函数也是刻画现实问题的重要模型。大家在运用分段函数的时候要注意它的定义域。那么应该如何解函数的应用问题呢？例4人口问题是当年世界各国普通关注的问题。认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据。早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：表3-8是1950～1959年我国的人口数据资料：年份1950195119521953195419551956195719581959人数/万人55196563005748258796602666145662828645636599467207rteyy0其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率。（1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；解：（1）设1951～1959年的人口增长率分别为r1，r2，…，r9.由55196(1+r1)=56300可得1951年的人口增长率r1≈0.0200。同理可得，r2≈0.0210r3≈0.0229r4≈0.0250r5≈0.0197r6≈0.0223r7≈0.0276r8≈0.0222r9≈0.0184于是，1951～1959年期间，我国人口的年均增长率为r=（r1+r2+···+r9）÷9≈0.0221令y0=55196，则我国在1950～1959年期间的人口增长模型为Nteyt,551960221.0根据表3-8中的数据作出散点图，并作出函数的图象（图3.2-9）。由图3.2-9可以看出，所得模型与1951～1959年的实际人口数据基本吻合。97531024685000055000600006500070000图3.2-9ty（2）如果按表3-8的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？解：将y=130000代入由计算器可得t≈38.76所以，如果按表3-8的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年（即1989年）我国的人口就已达到13亿。由此可以看到，如果不实行计划生育，而是让人口自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力。Nteyt,551960221.0从以上的例子可以看到，用已知的函数模型刻画实际问题的时候，由于实际问题的条件与得出已知模型的条件有所不同，因此通过模型得出的结果往往会与实际问题存在一定的误差。因此，往往需要对模型进行修正。中国移动通讯公司拥有“全球通”“神州行”“动感地带”三大著名客户品牌．“全球通”：收费标准是月租费50元，通话1分钟话费0.4元；“神州行”：不缴月租费，本地接听和主叫均为0.6元/分钟，长途0.8元；“动感地带”（M—zone）是今年3月份北京移动为年轻一族量身定做的移动客户品牌．其最大卖点在于其短信套餐，分别为每月支付20元可发300条短信或者每月支付30元可发500条短信（假设选择第一种套餐），一条不到一...