二次函数试题集锦1.已知抛物线．（1）求证：该抛物线与轴有两个不同的交点；（2）过点作轴的垂线交该抛物线于点和点（点在点的左边），是否存在实数，使得？若存在，则求出满足的条件；若不存在，请说明理由．答案：解：（1）证法1：，当时，抛物线顶点的纵坐标为，顶点总在轴的下方．而该抛物线的开口向上，该抛物线与轴有两个不同的交点．（或者，当时，抛物线与轴的交点在轴下方，而该抛物线的开口向上，该抛物线与轴有两个不同的交点．）证法2：，当时，，该抛物线与轴有两个不同的交点．（2）存在实数，使得．设点的坐标为，由知，①当点在点的右边时，，点的坐标为，且是关于的方程的两个实数根．，即．且（I），（II）由（I）得，，即．将代入（II）得，．当且时，有．②当点在点的左边时，，点的坐标为，且是关于的方程的两个实数根．，即．ABxyPOABxyPO且（I），（II）由（I）得，，即．将代入（II）得，且满足．当且时，有2.一人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直滑下，滑下的距离（米）与时间（秒）间的关系式为，若滑到坡底的时间为2秒，则此人下滑的高度为（）Ａ．24米Ｂ．12米Ｃ．米Ｄ．6米答案：Ｂ3.我市英山县某茶厂种植“春蕊牌”绿茶，由历年来市场销售行情知道，从每年的3月25日起的180天内，绿茶市场销售单价（元）与上市时间（天）的关系可以近似地用如图（1）中的一条折线表示．绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外，其种植的成本单价（元）与上市时间（天）的关系可以近似地用如图（2）的抛物线表示．（1）直接写出图（1）中表示的市场销售单价（元）与上市时间（天）（）的函数关系式；（2）求出图（2）中表示的种植成本单价（元）与上市时间（天）（）的函数关系式；（3）认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，问何时上市的绿茶纯收益单价最大？（说明：市场销售单价和种植成本单价的单位：元／500克．）答案：解：（1）依题意，可建立的函数关系式为：（2）由题目已知条件可设．2040608010012018020406080100120140160Ot(天)y(天)2040608011018060Oz(元)15014016050402010853图(1)90图(2)90（180，92）140160100120t(天)图象过点，．．（3）设纯收益单价为元，则=销售单价成本单价．故化简得①当时，有时，最大，最大值为100；②当时，由图象知，有时，最大，最大值为；③当时，有时，最大，最大值为56．综上所述，在时，纯收益单价有最大值，最大值为100元．4.如图，足球场上守门员在处开出一高球，球从离地面1米的处飞出（在轴上），运动员乙在距点6米的处发现球在自己头的正上方达到最高点，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．（2）足球第一次落地点距守门员多少米？（取）（3）运动员乙要抢到第二个落点，他应再向前跑多少米？（取）yOBCD1Mx24A答案：解：（1）（3分）如图，设第一次落地时，抛物线的表达式为由已知：当时即表达式为（或）（2）（3分）令（舍去）．足球第一次落地距守门员约13米．（3）（4分）解法一：如图，第二次足球弹出后的距离为根据题意：（即相当于将抛物线向下平移了2个单位）解得（米）．解法二：令解得（舍），点坐标为（13，0）．设抛物线为将点坐标代入得：解得：（舍去），令yOBCD1Mx24AEFN（舍去），（米）．解法三：由解法二知，所以所以答：他应再向前跑17米．5.荆州市“建设社会主义新农村”工作组到某县大棚蔬菜生产基地指导菜农修建大棚种植蔬菜．通过调查得知：平均修建每公顷大棚要用支架、农膜等材料费万元；购置滴灌设备，这项费用（万元）与大棚面积（公顷）的平方成正比，比例系数为；另外每公顷种植蔬菜需种子、化肥、农药等开支万元．每公顷蔬菜年均可卖万元．（1）基地的菜农共修建大棚（公顷），当年收益（扣除修建和种植成本后）为（万元），写出关于的函数关系式．（2）若某菜农期望通过种植大棚蔬菜当年获得万元收益，工作组应建议他修建多少公项大棚．（用分数表示即可）（3）除种子、化肥、农药投资只能当年受益外，其它设施年内不...
