第33节223向量数乘运算及其几何意义VIP专享VIP免费

2.2.3向量数乘运算及其几何意义问题提出1.如何求作两个非零向量的和与差？2.相同的几个数相加可以转化为数乘运算，如3＋3＋3＋3＋3=5×3=15.那么相等的几个向量相加是否也能转化为数乘运算呢？abaabba+ba-b一：向量的数乘运算及其几何意义思考1：已知非零向量a，如何求作向量a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a）？aaOaaABC－a－a－aOMNP思考2：向量a＋a＋a和(-a)+(-a)+(-a)分别如何简化其表示形式？a＋a＋a=3a，(-a)+(-a)+(-a)=-3a.思考3：向量3a和－3a与向量a的大小和方向有什么关系？2-aaOaaABC－a－a－aOMNP向量数乘定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作λa，该向量的长度与方向规定：（1）|λa|=|λ||a|；（2）λ>0时,λa与a方向相同；λ<0时,λa与a方向相反；λ=0时,λa=0.思考：数乘的几何意义？二:向量数乘的运算律思考：你认为－2×（5a），2a＋2b，a可分别转化为什么运算？(32)+-2×(5a)=-10a；2a＋2b=2(a+b)；(3＋)a=3a＋a.22数量积的运算律：一般地，设λ，μ为实数，则（1）λ(μa)=（λμ）a；结合律（2）(λ+μ）a=λa＋μa；分配律（3）λ(a+b)=λa＋λb.理论迁移例1计算（1）（－3）×4a；（2）3（a＋b）－2（a－b）－a；（3）（2a＋3b－c）－（3a－2b＋c）.三、向量共线的条件思考1：对于向量a（a≠0）和b，若存在实数λ，使b=λa，则向量a与b的方向有什么关系？思考2：若向量a（a≠0）与b共线，则一定存在实数λ，使b=λa成立吗？向量共线定理：向量a（a≠0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b=λa.定理的应用1.练习：P90第2、4题2b3babOABCaba2.3.用已知向量表示未知向量P89例7小结作业1.实数与向量可以相乘，其积仍是向量，但实数与向量不能相加、相减.2.若λa=0，则可能有λ=0，也可能有a=0.3.向量的数乘运算律，不是规定，而是可以证明的结论.向量共线定理是平面几何中证明三点共线，直线平行，线段数量关系的理论依据.作业：P91练习：9.10