定积分概念、求解VIP免费

定积分的概念与计算abxyo?A原型（求曲边梯形的面积）)(xfy曲边梯形由连续曲线轴与两直线,所围成.()(()0),yfxfxxxaxb考察下列图形由哪些曲边围成.A2022xy00yAsinyx0x面积怎么求？面积怎么求？元素法元素法2xππxπ2y0x利用元素法的思想求解曲边梯形的面积时，可概括“分割-取近似-求和-取极限”的步骤.将曲边梯形的底，即[a,b]进行分割(用垂直于x轴的直线).第一步分割；第一步分割；曲边梯形的面积的解决思路：abxyo)(xfyix1x1ix1nx2x记1.iiixxx()ifix().iiiSfxiS取出典型小区域，用矩形面积近似曲边梯形面积.第二步取近似；第二步取近似；abxyo)(xfy用矩形面积近似用矩形面积近似小曲边梯形面积小曲边梯形面积高底ix1x1ix1nx2x典型小区域面积iabxyo)(xfyix1x1ix1nx2x第三步求和；第三步求和；i矩形面积和与曲边梯形面积不相等有误差有误差121nn11().nniiiiiSfx将每个小曲边梯形的面积都用矩形近似，并将所有的小矩形面积加起来.第四步取极限.第四步取极限.当对曲边梯形底的分割越来越细时，矩形面积之和越近似于曲边梯形面积.abxyo)(xfy0,1,2,,ixinmax{}0ix11()nniiiiiASfx112233()()()(),nnfxfxfxfxiniixfA)(lim101122330lim[()()()()].nnfxfxfxfx曲边梯形面积的近似值为:曲边梯形面积为当即小区间的最大长度趋近于零时分割无限加细12,max{,,,}(0),nxxx二、定积分的定义11()()nniiiibafxfn小矩形面积和S=如果当n∞时，S的无限接近某个常数，这个常数为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作baf(x)dx，即f(x)dxf(i)xi。从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四步曲”:分割---近似代替----求和------取极限得到解决.1()lim()ninibafxdxfnba即定积分的定义：定积分的相关名称：———叫做积分号，f(x)——叫做被积函数，f(x)dx—叫做被积表达式，x———叫做积分变量，a———叫做积分下限，b———叫做积分上限，[a,b]—叫做积分区间。1()lim()ninibafxdxfnba即Oabxy)(xfy注意：()baxfxd()bafttd()bafuud(2).i在定义中区间的分法和的取法是任意的(1),.积分值仅与被积函数及积分区间有关而与积分变量的字母无关(3)()[,],()[,]fxabfxab当函数在区间上的定积分存在时称在区间上可积.xtuxtu例1：利用定积分的定义,计算的值.课本p47130xdx,0)(xf()bafxxAd,0)(xfd()bafxxA1234()bafxxAAAAd3A4A2A1Aabxy曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值定积分的几何意义O(),;xfxxaxbxx它是介于轴、函数的图形及两条直线之间的各部分面积的代数和．在轴上方的面积取正号在轴下方的面积取负号．__abxy几何意义O例2利用定积分的几何意义计算下列积分dd11200.(1);(2)1.xxxx解d，10(1)xx表示由及轴围成的三角形面积.0,1,xxyxx100x1x0yAyxd10xx11121.2d120(2)1,xx表示由及轴围成的圆面积.20,1,114xxyxx100x1x0yd1201xx1.4yxA2114π定理()[,],,()[,()()].,bbaafxabkkfxkffaxbxxkx若在上可积为常数则在上dd也可积且三、三、定积分的性质定积分的性质定理()[,],()()[,],(()())()().bbbaaafxgxxfxabfxgfbxxgxxxa若在上可积则在上也可积且ddd补充：不论的相对位置如何,上式总成立.cba,,定理（积分区间的可加性）ddd323002()()(),fxxfxxfxxddd363006()()(),fxxfxxfxx有界函数在上都可积的充要条件是在上也可积且ddd()[,],[,]()[,]()()(),.bcbaacfxxfxxffxaccbfxaxxb2660320632abcSacScbSabdd1.bbaaxxbad203x定理πd2033.2xππ定积分计算如何计算定积分？如何计算定积分？定义很复杂，直接计算很困难.需要转换新的思路.d()baftt01lim()niiifx根据几何意义，图不好画定理牛顿...