三垂线定理及其逆定理VIP专享VIP免费

§9.4.2§9.4.2三垂线定理三垂线定理及其逆定理及其逆定理§9.4.2§9.4.2三垂线定理三垂线定理及其逆定理及其逆定理复习回顾讲授新课巩固新课§9.4.2§9.4.2三垂线定理及其逆定理PCBA导入新课A1B1C1ADD1BC如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，DD1⊥平面AC,DD1为平面AC的垂线，BD1为平面AC的斜线。思考：1、直线BD,AC和BD1之间有怎样的位置关系？2、总结：三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。OaAP已知：PO、PA分别是平面的垂线、斜线，AO是PO在平面上的射影。a，a⊥AO。求证：a⊥pAOaAP证明：a⊥PAa⊥平面PAOPA平面PAOPO⊥aAO⊥aPO⊥aPO∩AO=O小结：OaAP定理中需要“一面、四线、三垂直”三垂线定理的实质是空间两直线垂直的判定定理（思想的转化）垂线最重要线射垂直线斜垂直PAOaα问题：三垂线定理中包含那些垂直关系？线面垂直线斜垂直线射垂直注注注注注a一定要在平面内，如果a不在平面内，定理就不一定成立。a例如：当b⊥时，b⊥OA探讨：如果将定理中“在平面内”的条件去掉，结论仍然成立吗？b但b不垂直于OPbPAOαPCBA例1已知P是平面ABC外一点，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，求证：PC⊥BC证明：∵P是平面ABC外一点PA⊥平面ABC∴PC是平面ABC的斜线∴AC是PC在平面ABC上的射影∵BC平面ABC且AC⊥BC∴由三垂线定理得PC⊥BC三垂线定理解题的关键：找“三垂”一、找线面垂直二、找平面的斜线在平面内的射影和平面内的一条直线垂直解题回顾PAOaα线射垂直线斜垂直PAOaαPAOaα平面内的一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直三垂线定理的逆定理？？在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。PAOaα已知：PA，PO分别是平面的垂线和斜线，AO是PO在平面的射影,a,a⊥PO求证：a⊥AO三垂线定理的逆定理三垂线定理的逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。线射垂直线斜垂直定理逆定理线射垂直线斜垂直定理逆定理⑴若a是平面α的斜线，直线b垂直于a在平面α内的射影，则a⊥b（）⑷若a是平面α的斜线,bα,∥直线b垂直于a在平面α内的射影，则a⊥b（）⑶若a是平面α的斜线，直线bα且b垂直于a在另一平面β内的射影则a⊥b（）⑵若a是平面α的斜线，平面β内的直线b垂直于a在平面α内的射影，则a⊥b（）练习：判断下列命题的真假：√×××ADCBA1D1C1B1例2在四面体ABCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD求证：AD⊥BC∴DOBC⊥，于是ADBC.⊥证明：作AO⊥平面BCD于点O，连接BO，CO，DO，则BO，CO，DO分别为AB，AC，AD在平面BCD上的射影。OADCB∵ABCD⊥，∴BOCD⊥，同理COBD⊥，于是O是△BCD的垂心，小结：三垂线定理及其逆定理使用三垂线定理及其逆定理时应注意的问题：作业：课本24页1、2复习回顾：1、直线和平面垂直的定义及判定定理2、斜线的定义、斜足、直线在平面内的射影。Alαlmnα思考：平面内有没有直线与平面的一条斜线垂直？如果有，有多少条？平面内的直线应该满足怎样的条件？