高三数学立体几何中的最值问题四则VIP免费

立体几何中的最值问题四则1.用配方法求距离的最值例1.如图1，正方形ABCD、ABEF边长都是1，且平面ABCD、ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CMBNaa()02。试求当a为何值时，MN的值最小。图1分析：此题的解题关键是想用含a的代数式表示距离，再用配方法求最值。解：过M作MHAB，垂足为H，连结NH，如图1所示。在正方形ABCD中，ABCB，所以BCMH//，因为平面AC平面AE，所以MH平面AE，即MHNH。因为CMBNaABCBBE,1，所以ACBF2即AMa2，MHAHaBHa12222,，由余弦定理求得NHa22。所以MNMHNH22()()()()12222212212022222aaaaaa当a22时，MN22，即M、N分别移到AC、BF的中点时，MN的值最小，最小值为2212.结合实际找最值位置例2.在一张硬纸上，抠去一个半径为3的圆洞，然后把此洞套在一个底面边长为4，高为6的正三棱锥A—BCD上，并使纸面与锥面平行，则能穿过这张纸面的棱锥的高的最大值是________。图2解：如图2所示，假设硬纸上的圆洞刚好卡在B'C'D'处。设正三棱锥ABCD的顶点A在平面BCD上的射影为A'，在平面B'C'D'上的射影为O。连结BA'、B'O并延长分别交CD、C'D'于E、E'点，则平面BCD'''//平面BCD，所以BEBEBCBC''''，BEBOBEBA''''3232，，即BOBABCBC''''。又因为BABOBC',',43334，所以BC''3又AOAABCBC'''，所以AOBCBCAA'''92，即能穿过这张纸面的棱锥的高的最大值是92。3.利用函数的有界性求体积最值例3.如图3，已知在ABC中，C90，PA平面ABC，AEPB于E，AFPC于F，APAB2，AEF，当变化时，求三棱锥PAEF体积的最大值。2图3解：因为PA平面ABCBC平面ABC，所以PABC又因为BCACPAACA,，所以BC平面PAC，又AF平面PAC，所以BCAF，又AFPCPCBCC,，所以AF平面PBC，即AFEF。EF是AE在平面PBC上的射影，因为AEPB，所以EFPB，即PE平面AEF。在三棱锥PAEF中，APABAEPB2,，所以PEAE22,，AFEFVSPEPAEFAEF22131312222sin,cossincos，262sin因为02，所以02021，sin因此，当4时，VPAEF取得最大值为26。34.结合图形列方程求解。例4.棱长为2cm的正方体容器盛满水，把半径为1cm的铜球放入水中刚好被淹没，然后再放入一个铁球，使它淹没水中，要使流出来的水量最多，这个铁球的半径应该为多大？图4解：过正方形对角线的截面图如图4所示。ACAO1233,，ASAOOS31设小球的半径为r。在AODAOr113中，，ASAOOS11，所以313rr，解得rcm23()，为所求。4