高三数学数列部分复习专题（二）人教实验版（B）【本讲教育信息】一.教学内容：数列部分复习专题（二）二.教学目的：1.数列部分方法与技巧解析2.数列部分易错题剖析三.知识分析（一）方法技巧方法一：通项常见的求法。1.观察法例1.写出下列数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数：（1），…；（2），…；（3），…；（4）7，77，777，7777，…；（5）1，3，6，10，15，…；（6）a，b，a，b，…。解析：（1）这是一个分数数列，分子为偶数列，而分母为，…，是两个连续奇数的积，故所求数列通项公式为：（2）数列的前5项可改写为：由于数列的各项间正负互相间隔，应有调节符号作用的数列，分子构成规律为，分母也为两个连续奇数的积。（3）原数列直接写不能看出通项公式，但改写之后，，分母依次为1，2，3，4，…，分子为1，0，-1，0，呈周期性变化，可以用表示，当然也可以用表示。（4）先研究数列9，99，999，9999，…用心爱心专心数列中的每一项均可以看作是10的若干次幂与1的差，则通项为∴该数列的通项应为其实这是一个规律性的问题：如数列2，22，222，2222，…的通项公式应为等等。（5）由观察可知，∴此题亦可这样考虑：……，以上个式子左边相加为又∴（6）这是摆动数列。要寻找摆动平衡位置与摆动的振幅。平衡位置：，振幅：，用去调节，则所求数列的通项公式也可以用分段函数形式来表示2.累差法例2.已知数列的前几项依次是：6，9，14，21，30，…，求其通项公式。解析：设，则有……，以上各式相加得：又∴3.待定系数法例3.已知{an}为等差数列，，求an。解析： {an}为等差数列，故可设用心爱心专心又∴解得∴4.公式法例4.如果数列的前n项和为，求这个数列的通项公式。解析：（1）当n=1时，由（2）当时，∴数列当时，是以3为公比，以为首项的等比数列∴而当n=1时，显然也成立故5.叠代法例5.已知，求数列的通项公式。解析： ∴… a1=1∴方法二：解递推关系式常见方法1.公式法：利用熟知的公式求通项公式的方法称为公式法。常用的公式有，等差数列和等比数列的通项公式。2.归纳法：由数列前几项用不完全归纳法猜测出数列的通项公式，再用数学归纳法证明其正确性。这种方法叫做归纳法。3.累加法：利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如的递推数列通项公式的基本方法（其中数列{f(n)}可求前n项和）。4.累乘法：利用恒等式求通项公式的方法称为累乘法。累乘法是求型如的递推数列通项公式的基本方法（数列g{n}可求前n项积）。例1.设是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对于所有的自然数n，an与1的等差中项等于Sn与1的等比中项，求数列的通项公式。用心爱心专心解析：解法一：（公式法）依题意，有∴∴即 ∴又a1=1故是首项为1，公差为2的等差数列∴解法二：（公式法） ∴当时，即 ∴∴从而解法三：（归纳法）由已知可求得猜测证明：（1）当n=1时，∴n=1时，猜想成立（2）假设时，猜想成立，即，则时 ∴∴ ∴∴∴即n=k+1时，猜想也成立。综合以上可知，对任意有例2.已知数列中，，求an。解析：（累加法） ∴用心爱心专心∴例3.已知数列中，，其中，求an。解析：（累乘法）由已知5.转化法：通过变换递推关系，将非等差（等比）数列转化为与等差或等比有关的数列而求得通项公式的方法称为转化法。常用的转化途径有：（1）凑配、消项变换——如将一阶线性递推公式（q、d为常数，，）。通过凑配变成，或消常数项转化为；（2）倒数变换——如将一阶分式递推公式（c、d为非零常数）取倒数得；（3）对数变换——如将一阶递推公式取对数得（4）换元变换——如将一阶递推公式（q、d为非零常数，，）变换成，令，则转化为一阶线性递推公式。例4.已知数列中，a1=1，，求的通项公式。解析：解法一：（归纳法） ∴a2=2a1+1=3，a3=2a2+1=7，…，猜测an=2n－1（），再用数学归纳法证明之。解法二：（转化法） ∴又a1+1=2故数列是首项为2，公比为2的等比数列∴即解法三：（转化法） （1）∴（2）用心爱心专心得故是首项为公比为2的等比数列，即再用累加法得解法四：（迭代法）例5.已知数列（）中，，求an。解析：（倒数变换），两边取倒数，得∴∴，首项...
