【状元之路】2017届高三数学一轮总复习第七章立体几何7.8立体几何中的向量方法(二)——求空间角与距离模拟试题高考模拟备考套餐加固训练练透考点1．[2015·浙江]如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，A1A＝4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点。(1)证明：A1D⊥平面A1BC；(2)求二面角A1－BD－B1的平面角的余弦值。解析：(1)证明：设E为BC的中点，连接A1E，AE，DE，由题意得A1E⊥平面ABC，所以A1E⊥AE。因为AB＝AC，所以AE⊥BC。故AE⊥平面A1BC。由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DE∥B1B且DE＝B1B，从而DE∥A1A且DE＝A1A，所以A1AED为平行四边形。故A1D∥AE。又因为AE⊥平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC。(2)方法一：作A1F⊥BD且A1F∩BD＝F，连接B1F。由AE＝EB＝，∠A1EA＝∠A1EB＝90°，得A1B＝A1A＝4。由A1D＝B1D，A1B＝B1B，得△A1DB与△B1DB全等。由A1F⊥BD，得B1F⊥BD，因此∠A1FB1为二面角A1－BD－B1的平面角。由A1D＝，A1B＝4，∠DA1B＝90°，得BD＝3，A1F＝B1F＝，由余弦定理得cos∠A1FB1＝－。方法二：以CB的中点E为原点，分别以射线EA，EB为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系E－xyz，如图所示。由题意知各点坐标如下：A1(0,0，)，B(0，，0)，D(－，0，)，B1(－，，)。因此A1B＝(0，，－)，BD＝(－，－，)，DB1＝(0，，0)。设平面A1BD的法向量为m＝(x1，y1，z1)，平面B1BD的法向量为n＝(x2，y2，z2)。由即可取m＝(0，，1)。由即可取n＝(，0,1)。于是|cos〈m，n〉|＝＝。由题意可知，所求二面角的平面角是钝角，故二面角A1－BD－B1的平面角的余弦值为－。2．[2016·兰州模拟]如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2，E是PB的中点。(1)求证：平面EAC⊥平面PBC；(2)若二面角P－AC－E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值。解析：(1)证明：∵PC⊥底面ABCD，∴PC⊥AC，∵底面ABCD是直角梯形，且AB＝2AD＝2CD＝2，∴AC＝，BC＝。∴AB2＝AC2＋BC2，∴AC⊥BC，∵PC∩BC＝C，∴AC⊥平面PBC，∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC。(2)建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz。设PC＝a，则A(0,0,0)，C(1,1,0)，E，P(1,1，a)，B(0,2,0)。∴AC＝(1,1,0)，AE＝，AP＝(1,1，a)，BC＝(1，－1,0)。设平面EAC的法向量为v＝(x，y，z)，则即令x＝1，则v＝，∵BC⊥平面PAC，∴平面PAC的一个法向量为u＝BC＝(1，－1,0)，设二面角P－AC－E的大小θ，则cosθ＝＝＝，解得a＝2，∴直线PA与平面EAC所成角的正弦值为cos〈v，AP〉＝＝＝。
