开卷速查(四十二)空间点、直线、平面之间的位置关系A级基础巩固练1．已知命题：①若点P不在平面α内，A，B，C三点都在平面α内，则P，A，B，C四点不在同一平面内；②两两相交的三条直线在同一平面内；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形。其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：当A，B，C三点都在平面α内，且三点共线时，P，A，B，C四点在同一平面内，故①错误；三棱锥的三条侧棱所在的直线两两相交，但三条直线不在同一平面内，故②错误；两组对边分别相等的四边形也可能是空间四边形，故③错误。答案：A2．如图所示，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是()A．A、M、O三点共线B．A、M、O、A1不共面C．A、M、C、O不共面D．B、B1、O、M共面解析：连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，∴A1、C1、C、A四点共面。∴A1C⊂平面ACC1A1。 M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1。又M∈平面AB1D1，∴M为平面ACC1A1与AB1D1的公共点。同理O、A为平面ACC1A1与平面AB1D1的公共点。∴A、M、O三点共线。答案：A3．正方体AC1中，E、F分别是线段BC、CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是()A．相交B．异面C．平行D．垂直解析：如图所示，直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交。答案：A4．[2016·合肥模拟]已知空间中有三条线段AB，BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是()A．AB∥CDB．AB与CD异面C．AB与CD相交D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交解析：若三条线段共面，如果AB，BC，CD构成等腰三角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线。答案：D5．在正四棱锥V－ABCD中，底面正方形ABCD的边长为1，侧棱长为2，则异面直线VA与BD所成角的大小为()A.B.C.D.解析：如图所示，设AC∩BD＝O，连接VO，由于四棱锥V－ABCD是正四棱锥，所以VO⊥平面ABCD，故BD⊥VO。又四边形ABCD是正方形，所以BD⊥AC，所以BD⊥平面VAC。所以BD⊥VA，即异面直线VA与BD所成角的大小为。答案：D6．如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过()A．点AB．点BC．点C但不过点MD．点C和点M解析：因为AB⊂α，M∈AB，所以M∈γ。又α∩β＝l，M∈l，所以M∈β。由公理3知，M在γ与β的交线上。同理可知，点C也在γ与β的交线上。答案：D7．下列如图所示是正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是______。①②③④解析：在④图中，可证Q点所在棱与面PRS平行，因此，P、Q、R、S四点不共面。可证①中四边形PQRS为梯形；③中可证四边形PQRS为平行四边形；②中如图所示取A1A与BC的中点为M、N可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形。答案：①②③8．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是__________。解析：如图，连接D1M，可证D1M⊥DN。又 A1D1⊥DN，A1D1，MD1⊂平面A1MD1，A1D1∩MD1＝D1，∴DN⊥平面A1MD1，∴DN⊥A1M，即夹角为90°。答案：90°9．[2016·天津模拟]设a，b，c是空间的三条直线，下面给出四个命题：①设a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c也是异面直线；③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；④若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面。其中真命题的个数是________。解析：因为a⊥b，b⊥c，所以a与c可能相交，平行，异面，故①错；因为a，b异面，b，c异面，则a，c可能异面，相交，平行，故②错；由a，b相交，b，c相交，则a，c可以异面，相交，平行，故③错；由a，b共面，b和c共面，则a，c可以异面，也可以共面，④错。故真命题的个数为0。答案：010．如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊AD，BE綊FA，G、H分别为FA、FD的中点。(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？解析：(1)证明：由已知FG＝GA，FH＝HD，可得GH綊AD。又BC綊AD，∴GH綊BC。∴四边形BCHG为平行四边形。(2)方法一：由BE綊AF，G为FA中点知，BE綊FG...
