第三节等比数列及其前n项和A组基础题组1.(2014重庆,2,5分)对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是()A.a1,a3,a9成等比数列B.a2,a3,a6成等比数列C.a2,a4,a8成等比数列D.a3,a6,a9成等比数列2.(2017甘肃白银十中月考)在等比数列{an}中,a3=6,前3项之和S3=18,则公比q的值为()A.1B.-C.1或-D.-1或3.(2016广安模拟)设等比数列{an}的前n项的积为Pn=a1·a2·a3·…·an,若P12=32P7,则a10等于()A.16B.8C.4D.24.已知{an}是各项均为正数的等比数列,3a1,a3,2a2成等差数列,则=()A.27B.3C.-1或3D.1或275.(2016河北三市联考)古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?”意思是:“一女子善于织布,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这女子每天分别织布多少?”根据上述题中条件,若要使织布的总尺数不少于30,该女子所需的天数至少为()A.7B.8C.9D.106.设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2=3a2+2,S4=3a4+2,则q=.7.在3与192中间插入两个数,使它们成等比数列,则这两个数为.8.设数列{an}的前n项和为Sn,若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,则a1=,S5=.9.(2016课标全国Ⅰ,17,12分)已知{an}是公差为3的等差数列,数列{bn}满足b1=1,b2=,anbn+1+bn+1=nbn.(1)求{an}的通项公式;(2)求{bn}的前n项和.10.已知数列{an}满足a1=5,a2=5,an+1=an+6an-1(n≥2).(1)求证:{an+1+2an}是等比数列;(2)求数列{an}的通项公式.B组提升题组11.已知Sn是等比数列{an}的前n项和,若存在m∈N*,满足=9,=,则数列{an}的公比为()A.-2B.2C.-3D.312.设{an}是各项为正数的无穷数列,Ai是邻边长为ai,ai+1的矩形的面积(i=1,2,…),则{An}为等比数列的充要条件是()A.{an}是等比数列B.a1,a3,…,a2n-1,…或a2,a4,…,a2n,…是等比数列C.a1,a3,…,a2n-1,…和a2,a4,…,a2n,…均是等比数列D.a1,a3,…,a2n-1,…和a2,a4,…,a2n,…均是等比数列,且公比相同13.若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积,则称该数列为“m积数列”.若各项均为正数的等比数列{an}是一个“2016积数列”,且a1>1,则当其前n项的乘积取最大值时n的值为.14.设等比数列{an}的公比为q,前n项和Sn>0(n=1,2,3,…).则q的取值范围为.15.(2016日照模拟)已知数列{an}中,a1=1,an+1=(1)证明:数列是等比数列;(2)求a2n及a2n-1.16.已知等差数列{an}的前n项的和为Sn,等比数列{bn}的各项均为正数,公比是q,且满足:a1=3,b1=1,b2+S2=12,S2=b2q.(1)求an与bn;(2)设cn=3bn-λ·,若数列{cn}是递增数列,求λ的取值范围.答案全解全析A组基础题组1.D设公比为q,则=q4,a1·a9=q8,a2·a6=·q6,当q≠±1时,A、B均不正确;又=q6,a2·a8=q8,同理,C不正确;由=q10,a3·a9=q10,知D正确.2.C根据已知条件得所以=3.整理得2q2-q-1=0,解得q=1或q=-.3.D由P12=32P7,得a8·a9·a10·a11·a12=32,即=32,于是a10=2.4.A 3a1,a3,2a2成等差数列,∴3a1+2a2=a3,∴3a1+2a1q=a1q2(q为等比数列{an}的公比),又a1≠0,∴q2-2q-3=0.又由题意知q>0,∴q=3,∴=q3=27,故选A.5.B设该女子第一天织布x尺,则=5,得x=,∴前n天所织布的总尺数为(2n-1).由(2n-1)≥30,得2n≥187,则n的最小值为8.6.答案解析由S2=3a2+2,S4=3a4+2作差可得a3+a4=3a4-3a2,即2a4-a3-3a2=0,所以2q2-q-3=0,解得q=或q=-1(舍).7.答案12,48解析设所成的等比数列的公比为q,由题意知,192=3×q3,q3=64,所以q=4.所以插入的两个数分别为3×4=12,12×4=48.8.答案1;121解析 an+1=2Sn+1,∴Sn+1-Sn=2Sn+1,∴Sn+1=3Sn+1,∴Sn+1+=3,∴数列是公比为3的等比数列,∴=3.又S2=4,∴S1=1,∴a1=1,∴S5+=×34=×34=,∴S5=121.9.解析(1)由已知得,a1b2+b2=b1,结合b1=1,b2=,得a1=2,(3分)所以数列{an}是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为an=3n-1.(5分)(2)由(1)和anbn+1+bn+1=nbn得bn+1=,(7分)因此{bn}是首项为1,公比为的等比数列.(9分)记{bn}的前n项和为Sn,则Sn==-.(12分)10.解析(1)证明: an+1=an+6an-1(n≥2),∴an+1+2an=3an+6an-1=3(an+2an-1)(n≥2). a1=5,a2=5,∴a2+2a1=15,∴an+2an-1≠0(n≥2),∴=3(n≥2),∴数列{an+1+2an}是以15为首项,3为公比的等比数列.(2)由(1)得an+1+2an=15×3n-1=5×3n,则an+1=-2an+5×3n,∴an+1-3n+1=-2(an-3n).又 a1-3=2,...
