(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题1．已知椭圆过点P(，－4)和点Q(－，3)，则此椭圆的标准方程是()A.＋x2＝1B.＋y2＝1C.＋y2＝1或x2＋＝1D．以上都不对【解析】设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)．则，解得A＝1，B＝，故选A.【答案】A2．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是()A.B.C.D.【解析】设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，令x＝±c得y2＝，∴|AB|＝，由题意得：2c＝·，即3a4－10a2c2＋3c4＝0，∴a2＝3c2，∴e＝＝.【答案】A3．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1、F2，M是椭圆上一点，N是MF1的中点，若|ON|＝1，则MF1的长等于()A．2B．4C．6D．5【解析】由椭圆方程知a＝4，∴|MF1|＋|MF2|＝8，∴|MF1|＝8－|MF2|＝8－2|ON|＝8－2＝6.【答案】C4．(2009年石家庄模拟)过点M(－2,0)的直线m与椭圆＋y2＝1交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为()A．2B．－2C.D．－【解析】由题意知直线m的方程为y＝k1(x＋2)，设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，由得(1＋2k12)x2＋8k12x＋8k12－2＝0，∴x1＋x2＝－，∴y1＋y2＝，∴P(－，)，∴k2＝＝－，∴k1k2＝－.用心爱心专心【答案】D5．(2009年郑州模拟)如图，A、B、C分别为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的顶点与焦点，若∠ABC＝90°，则该椭圆的离心率为()A.B．1－C.－1D.【解析】由已知得a2＋(a2＋b2)＝(a＋c)2，即c2＋ac－a2＝0，∴e2＋e－1＝0， 1＞e＞0，∴e＝.【答案】A二、填空题6．F1、F2是椭圆＋＝1的两焦点，P为椭圆的一个顶点，若△PF1F2是等边三角形，则a2＝________.【解析】若a2＞9，则有a2＝4(a2－9)，解得a2＝12.若a2＜9，则有9＝4(9－a2)，解得a2＝.【答案】12或7．我们把由半椭圆＋＝1(x≥0)与半椭圆＋＝1(x＜0)合成的曲线称作“果圆”(其中a2＝b2＋c2，a＞b＞c＞0)．如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2是“果圆”与x，y轴的交点，若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，则a，b的值分别为________．【解析】由已知|F1F2|＝2＝1①又因为△F0F1F2是边长为1的等边三角形，所以cos30°＝，∴c＝，代入①式得b＝1，∴a＝＝＝.【答案】18．设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为e＝，右焦点为F(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)与圆x2＋y2＝2的位置关系是________．(填“在圆内”、“在圆上”或“在圆外”)【解析】由已知得＝，∴a＝2c，∴b2＝a2－c2＝3c2，∴b＝c，∴方程即为2cx2＋cx－c＝0，2x2＋x－1＝0，用心爱心专心∴x1＋x2＝－，x1x1＝－，x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝＋1＝＜2.∴点P(x1，x2)在圆x2＋y2＝2内．【答案】在圆内三、解答题9．(2009年上海高考)我国计划发射火星探测器，该探测器的运行轨道是以火星(其半径R＝34百公里)的中心F为一个焦点的椭圆．如图，已知探测器的近火星点(轨道上离火星表面最近的点)A到火星表面的距离为8百公里，远火星点(轨道上离火星表面最远的点)B到火星表面的距离为800百公里．假定探测器由近火星点A第一次逆时针运行到与轨道中心O的距离为百公里时进行变轨，其中a、b分别为椭圆的长半轴、短半轴的长，求此时探测器与火星表面的距离(精确到1百公里)．【解析】设探测器运行轨道方程为＋＝1(a＞b＞0)，c＝. a＋c＝800＋34，a－c＝8＋34，∴a＝438，c＝396.于是b2＝a2－c2＝35028，∴探测器运行轨道方程为＋＝1.设变轨时，探测器位于P(x0，y0)，则x02＋y02＝ab≈81975.1，＋＝1，解得x0≈239.7，y0≈156.7(符合题意)，∴探测器在变轨时与火星表面的距离为－R≈187.3.即探测器在变轨时与火星表面的距离约为187百公里．10．(2009年安徽模拟)已知△ABC的顶点A，B在椭圆x2＋3y2＝4上，C在直线l：y＝x＋2上，且AB∥l.(1)当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△ABC的面积；(2)当∠ABC＝90°，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程．【解析】(1)因为AB∥l，且AB边通过点(0,0)，所以AB所在直线的方程为y＝x.设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．由，得x＝±1.所以|AB|＝|x1－x2|＝2.又因...
