第十讲平面向量（二）【知识点】1、会利用向量知识和三角函数知识解决简单的综合问题；2、会利用向量知识解决简单的实际问题．【例题选讲】例1已知在△ABC中，，则O为△ABC的（D）A．内心B．外心C．重心D．垂心分析：；同理：．故选（D）练习1：若O是内一点，，则O是的（）A．内心B．外心C．垂心D．重心练习2：在△ABC中，若，则等于.[点评]利用向量解决平面几何问题时，移项、逆用分配律、用减法消去相同起点是常用而有效的方法．例2已知=（cosθ，sinθ），=（1+sinθ，1+cosθ），其中0≤θ≤π，求||的取值范围及||取得最大值时的θ的值．解：=–=（1+sinθ–cosθ，1+cosθ–sinθ），||2=（1+sinθ–cosθ）2+（1+cosθ–sinθ）2=2+2（sinθ–cosθ）2=4–4sinθcosθ=4–2sin2θ，当0≤θ≤π时，||2∈[2，6]，∴||∈[，]；当||取最大值时，sin2θ=–1，2θ=π，θ=π．[点评]本题中向量的作用仅是基础性、工具性的，涉及到的知识点是向量的减法及模的计算，新课程引进向量，主要的目的之一就是发挥其基础工具作用，当问题转化为其他数学内容时，便用其它的相应知识求解．例3已知向量且求（1）及；（2）若的最小值是，求的值．解：（1），．（2）（1）当时，；（2）当时，；（3）当时，；综上所述：．[点评]正确利用向量和三角函数有关公式，合理使用转化思想将问题变为熟悉的形式来解决是本题的关键．例4已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），且，满足关系|k+|=|–k|(k>0)．（1）求将与的数量积用k表示的解析式f(k)；（2）能否和垂直？能否和平行？若不能，则说明理由；若能，求出对应的k值；（3）求与夹角的最大值．解：（1）∵||==1，||==1，将已知式|k+|=|–k|两平方得k2||2+2k•+||2=3||2–6k•+3k2||2，∴k2+2k•+1=3–6k•+3k2，即4k•=k2+1．∵k>0，∴•==f(k)；（2）∵•==f(k)>0，∴与不可能垂直；若∥，由•>0，知与同向，于是•=||•||cos0=||•||=1，即=1，解得k=2±．∴当k=2±时，∥；（3）设与的夹角为θ，则cosθ==，去分母整理得k2–4kcosθ+1=0，由⊿=（4cosθ）2–4≥0，得cos2θ≥．又∵cosθ>0，∴cosθ≥，θ的最大角为600．[点评]本题主要体现用向量的数量积运算解决与平行、垂直、长度和角度等有关的几何问题的应用思想，这要求对向量的知识掌握得比较牢固，同时要会联系使用其他相关知识．
