第二章第四节函数的奇偶性题组一函数的奇偶性的判定1.已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是()①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x.A.①③B.②③C.①④D.②④解析：由奇函数的定义验证可知②④正确，选D.答案：D2.(2010·长郡模拟)已知二次函数f(x)＝x2－ax＋4，若f(x＋1)是偶函数，则实数a的值为()A.－1B.1C.－2D.2解析： f(x)＝x2－ax＋4，∴f(x＋1)＝(x＋1)2－a(x＋1)＋4＝x2＋2x＋1－ax－a＋4＝x2＋(2－a)x＋5－a，f(1－x)＝(1－x)2－a(1－x)＋4＝x2－2x＋1－a＋ax＋4＝x2＋(a－2)x＋5－a. f(x＋1)是偶函数，∴f(x＋1)＝f(－x＋1)，∴a－2＝2－a，即a＝2.答案：D3.(2009·浙江高考)若函数f(x)＝x2＋(a∈R)，则下列结论正确的是()A.∀a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是增函数B.∀a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是减函数C.∃a∈R，f(x)是偶函数D.∃a∈R，f(x)是奇函数解析：当a＝16时，f(x)＝x2＋，f′(x)＝2x－，令f′(x)＞0得x＞2.∴f(x)在(2，＋∞)上是增函数，故A、B错.当a＝0时，f(x)＝x2是偶函数，故C正确.D显然错误，故选C.答案：C题组二函数奇偶性的应用4.已知函数f(x)＝ax4＋bcosx－x，且f(－3)＝7，则f(3)的值为()A.1B.－7C.4D.－101解析：设g(x)＝ax4＋bcosx，则g(x)＝g(－x).由f(－3)＝g(－3)＋3，得g(－3)＝f(－3)－3＝4，所以g(3)＝g(－3)＝4，所以f(3)＝g(3)－3＝4－3＝1.答案：A5.已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝()A.－2B.2C.－98D.98解析：由f(x＋4)＝f(x)，得f(7)＝f(3)＝f(－1)，又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，f(1)＝2×12＝2，∴f(7)＝－2.故选A.答案：A6.设函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(1)＝，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)＝()A.0B.1C.D.5解析：由f(1)＝，对f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，令x＝－1，得f(1)＝f(－1)＋f(2).又 f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1).于是f(2)＝2f(1)＝1；令x＝1，得f(3)＝f(1)＋f(2)＝，于是f(5)＝f(3)＋f(2)＝.答案：C7.已知函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，且f()＞0＞f(－)，则方程f(x)＝0的根的个数为()A.0B.1C.2D.3解析：由于函数是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，因此在(－∞，0)上单调递增，又因为f()＞0＞f(－)＝f()，所以函数f(x)在(，)上与x轴有一个交点，必在(－，－)上也有一个交点，故方程f(x)＝0的根的个数为2.答案：C8.(2010·滨州模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足：当x＞0时，f(x)＝2008x＋log2008x，则方程f(x)＝0的实根的个数为.解析：当x＞0时，f(x)＝0即2008x＝－log2008x，在同一坐标系下分别画出函数f1(x)＝2008x，f2(x)＝－log2008x的图象(图略)，可知两个图象只有一个交点，即方程f(x)＝0只有一个实根，又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以当x＜0时，方程f(x)＝0也有一个实根，又因为f(0)＝0，所以方程f(x)＝0的实根的个数为3.答案：3题组三函数的奇偶性与单调性的综合问题9.定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有＜0，则()A.f(3)＜f(－2)＜f(1)B.f(1)＜f(－2)＜f(3)C.f(－2)＜f(1)＜f(3)D.f(3)＜f(1)＜f(－2)2解析：由已知＜0，得f(x)在x∈[0，＋∞)上单调递减，由偶函数性质得f(3)＜f(－2)＜f(1)，故选A.此类题能用数形结合更好.答案：A10.(2009·福建高考)定义在R上的偶函数f(x)的部分图象如右图所示，则在(－2,0)上，下列函数中与f(x)的单调性不同的是()A.y＝x2＋1B.y＝|x|＋1C.y＝321,01,<0xxxx≥D.y＝e,0e,
