核心素养测评六十五古典概型、几何概型(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.从1,2,3,4,5这5个数中任取3个不同的数,则取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率是()A.B.C.D.【解析】选A.从1,2,3,4,5这5个数中任取3个不同的数的基本事件有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),共10个,取出的3个数可作为三角形的三边边长的基本事件有(2,3,4),(2,4,5),(3,4,5),共3个,故所求概率P=.2.若在面积为2的△ABC内任取一点P,并连接PB,PC,则△PBC的面积小于1的概率为()A.B.C.D.【解析】选D.记事件A={△PBC的面积小于1},基本事件空间是三角形ABC的面积(如图),事件A的几何度量为图中阴影部分的面积(DE是三角形的中位线),因为阴影部分的面积是整个三角形面积的,所以P(A)=.3.齐王与田忌赛马,田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马,田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马,田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛,则田忌的马获胜的概率为()A.B.C.D.【解析】选A.将齐王的三匹马分别记为a1,a2,a3,田忌的三匹马分别记为b1,b2,b3,齐王与田忌赛马,其情况有:(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(a3,b1),(a3,b2),(a3,b3)共9种,其中田忌的马获胜的有(a2,b1),(a3,b1),(a3,b2)共3种,所以田忌获胜的概率为=.4.某一天晚上月全食的过程分为初亏、食既、食甚、生光、复圆五个阶段,月食的初亏发生在19时48分,20时51分食既,食甚时刻为21时31分,22时08分生光,直至23时12分复圆.月全食伴随有蓝月亮和红月亮,月全食阶段的“红月亮”将在食甚时刻开始,生光时刻结束,一市民准备在19:55至21:56之间的某个时刻欣赏月全食,则他等待“红月亮”的时间不超过30分钟的概率是()A.B.C.D.【解析】选A.如图所示,概率为P==.5.如图所示的图形是弧三角形,又叫莱洛三角形,它是分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心,以边长为半径画弧得到的封闭图形.在此图形内随机取一点,则此点取自等边三角形内的概率是世纪金榜导学号()A.B.C.D.【解析】选B.设等边三角形的边长为a,则每个扇形的面积为S扇形=×π×a2=,S正三角形=,所以封闭图形的面积为3S扇形-2S正三角形=-,由几何概型的概率公式可得所求概率为P==.二、填空题(每小题5分,共15分)6.记a,b分别是投掷两次骰子所得的数字,则方程x2-ax+2b=0有两个不同实根的概率为.【解析】由题意知投掷两次骰子所得的数字分别为a,b,则基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),…,(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共有36个.而方程x2-ax+2b=0有两个不同实根的条件是a2-8b>0,满足此条件的基本事件有:(3,1),(4,1),(5,1),(5,2),(5,3),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),共有9个,故所求概率为=.答案:7.记一个两位数的个位数字与十位数字的和为A.若A是不超过5的奇数,从这些两位数中任取一个,其个位数为1的概率为.【解析】根据题意,个位数字与十位数字之和为奇数且不超过5的两位数有:10,12,14,21,23,30,32,41,50,共9个,其中个位是1的有21,41,共2个,因此所求的概率为.答案:8.m∈{-2,-1,0,1,2},n∈{-1,0,1},随机抽取一个m和一个n,使得平面向量a=(m,n),满足|a|>2的概率为.世纪金榜导学号【解析】向量a的所有可能情况是:(-2,-1),(-2,0),(-2,1),(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1),(2,-1),(2,0),(2,1),满足|a|>2即m2+n2>4的有(-2,-1),(-2,1),(2,-1),(2,1),所以所求概率为.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,在正方体内随机取点M,求使四棱锥M-ABCD的体积小于的概率.【解析】因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,所以正方体体积V=1×1×1=1,当四棱锥M-ABCD的体积小于时,设它的高为h,则×h<,解得h<,则点M在到平面ABCD的距离等于的截面以下时,四棱锥M-ABCD的体积小于,使得四棱锥M-ABCD的体积小于时,点M的位置形成一个长方体,该长方体的体积V′=1×1×=,所以四棱锥M-ABCD的体积小于的概率P==.10.某市举行职工技能比赛活动,甲厂派出2男1女共3名职工,乙厂派出2男2女共4名职工.(1)若从甲厂和乙厂报名的职工中各任选1名进行比赛,求选出的2名职工...
