立体几何05二、填空题（共22题）33．多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面的距离可能是：______（写出所有正确结论的编号）①3；②4；③5；④6；⑤7解：如图，B、D、A1到平面的距离分别为1、2、4，则D、A1的中点到平面的距离为3，所以D1到平面的距离为6；B、A1的中点到平面的距离为，所以B1到平面的距离为5；则D、B的中点到平面的距离为，所以C到平面的距离为3；C、A1的中点到平面的距离为，所以C1到平面的距离为7；而P为C、C1、B1、D1中的一点，所以选①③④⑤。35.已知三点在球心为，半径为的球面上，，且那么两点的球面距离为_______________，球心到平面的距离为______________.解：如右图，因为，所以AB是截面的直径，又AB＝R，所以△OAB是等边三角形，所以AOB＝，故两点的球面距离为，于是O1OA＝30，所以球心到平面的距离OO1＝Rcos30＝.36.棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______.ABCDA1B1C1D1A1解：37.过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有条.解：过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有6条。38.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面为直角三角形，ACB＝90，AC＝6，BC＝CC1＝，P是BC1上一动点，则CP＋PA1的最小值是___________解：连A1B，沿BC1将△CBC1展开与△A1BC1在同一个平面内，如图所示，连A1C，则A1C的长度就是所求的最小值。通过计算可得A1C1C＝90又BC1C＝45，A1C1C＝135由余弦定理可求得A1C＝40.若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为,则=______【解析】不妨认为一个正四棱柱为正方体,与正方体的所有面成角相等时,为与相交于同一顶点的三个相互垂直的平面所成角相等,即为体对角线与该正方体所成角.故.【点评】本题考查了直线与平面所成角的定义以及正四棱柱的概念,充分考查了转化思想的应用.41.如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥，则此正六棱锥的侧面积是________．C1CBA1解：显然正六棱锥的底面的外接圆是球的一个大圆，于是可求得底面边长为2，又正六棱锥的高依题意可得为2，依此可求得42.已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角等于_______________。【解析】正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，底面边长为2，底面积为12，所以正四棱锥的高为3，则侧面与底面所成的二面角的正切tanα=,∴二面角等于。45.如图，在正三棱柱ABC-中，所有棱长均为1，则点B到平面ABC的距离为.解：利用等体积法，易知VB1-ABC1=，所以点B到平面ABC的距离为46.水平桌面α上放有4个半径均为2R的球,且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形).在这4个球的上面放1个半径为R的小球,它和下面4个球恰好都相切,则小球的球心到水平桌面α的距离是解：水平桌面α上放有4个半径均为2R的球，且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形)．ABCPDEF在这4个球的上面放1个半径为R的小球，它和下面4个球恰好都相切，5个球心组成一个正四棱锥，这个正四棱锥的底面边长为4R，侧棱长为3R，求得它的高为R，所以小球的球心到水平桌面α的距离是3R．47.如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是．解：正方体中，一个面有四条棱与之垂直，六个面，共构成24个“正交线面对”；而正方体的六个对角截面中，每个对角面又有两条面对角线与之垂直，共构成12个“正交线面对”，所以共有36个“正交线面对”；48.在三棱锥中，三条棱、、两两互相垂直，且＝＝，是边的中点，则与平面所成的角的大小是（用反三角函数表示）；解析：在三棱锥中，三条棱两两互相垂直，且是边的中点，设，则，，O点在底面的射影为底面△ABC的中心，=，又，与平面所成角的正切是，所以二面角大小是.49.是空间两条不同直线，是两个不同平面，下面有四个命题：①②③④其中真命题...
