数列138.在研究并行计算的基本算法时，有以下简单模型问题：用计算机求n个不同的数v1，v2，…，vn的和＝v1＋v2＋v3＋…＋vn．计算开始前，n个数存贮在n台由网络连接的计算机中，每台机器存一个数.计算开始后，在一个单位时间内，每台机器至多到一台其他机器中读数据，并与自己原有数据相加得到新的数据，各台机器可同时完成上述工作.为了用尽可能少的单位时间，使各台机器都得到这n个数的和，需要设计一种读和加的方法.比如n＝2时，一个单位时间即可完成计算，方法可用下表表示：机器号初始时第一单位时间第二单位时间第三单位时间被读机号结果被读机号结果被读机号结果1v12v1+v2v1+v2v21v2+v1（Ⅰ）当n＝4时，至少需要多少个单位时间可完成计算?把你设计的方法填入下表机器号初始时第一单位时间第二单位时间第三单位时间被读机号结果被读机号结果被读机号结果1v12v23v34v4（Ⅱ）当n＝128时，要使所有机器都得到，至少需要多少个单位时间可完成计算?（结论不要求证明）解：（Ⅰ）当n＝4时，只用2个单位时间即可完成计算．方法之一如下：（Ⅱ）当n＝128＝27时，至少需要7个单位时间才能完成计算.9.从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业.根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少.本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.（Ⅰ）设n年内（本年度为第一年）总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元.写出an，bn的表达式；（Ⅱ）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?解：（Ⅰ）第1年投入800万元，第2年投入800×（1－）万元……，第n年投入800×（1－）n－1万元所以总投入an＝800＋800（1）＋…＋800（1）n－1＝40001－（）n］同理，第1年收入400万元，第2年收入400×（1＋）万元，……，第n年收入400×（1＋）n－1万元bn＝400＋400×（1＋）＋…＋400×（1＋）n－1＝1600×（）n－1］10.对任意函数f（x），x∈D，可按图示3—2构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入数据x0∈D，经数列发生器输出x1＝f（x0）；②若x1D，则数列发生器结束工作；若x1∈D，则将x1反馈回输入端，再输出x2＝f（x1），并依此规律继续下去．图3—2现定义f（x）=．解：（Ⅰ）∵f（x）的定义域D＝（－∞－1）∪（－1，＋∞）∴数列｛xn｝只有三项x1＝，x2＝，x3＝－1（Ⅱ）∵f（x）＝＝x即x2－3x＋2＝0，∴x＝1或x＝2即x0＝1或2时，xn＋1＝＝xn故当x0＝1时，x0＝1；当x0＝2时，xn＝2（n∈N）（Ⅲ）解不等式x＜，得x＜－1或1＜x＜2，要使x1＜x2，则x2＜－1或1＜x1＜2对于函数f（x）＝若x1＜－1，则x2＝f（x1）＞4，x3＝f（x2）＜x2当1＜x1＜2时，x2＝f（x）＞x1且1＜x2＜2依次类推可得数列｛xn｝的所有项均满足xn＋1＞xn（n∈N）综上所述，x1∈（1，2），由x1＝f（x0），得x0∈（1，2）11.已知{an}是首项为2，公比为的等比数列,Sn为它的前n项和.（1）用Sn表示Sn+1；（2）是否存在自然数c和k，使得>2成立.当c=3时，因为S1=2，S2=3，所以当k=1，2时，cc，又Sk－2c，从而①不成立.故不存在自然数c，k，使成立.评述：本题主要考查等比数列、不等式知识，以及探索和讨论存在性问题的能力，是高考试题的热点题型.12.已知等差数列前三项为a，4，3a，前n项和为Sn，Sk=2550.（1）求a及k的值；（2）求.解：（1）由已知a1=a，a2=4，a3=3a，∴a3－a2=a2－a1，即4a=8，∴a=2.∴首项a1=2，d=2Sk=k·a1+d得k·2+d=2550∴k2+k－2550=0，解得k=50或k=－51（舍去）∴a=2，k=50.13.已知函数f（x）=其中f1（x）＝－2（x）2＋1，f2（x）＝－2x＋2．（Ⅰ）在图3—3坐标系上画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）设y=f2（x）（x∈，1］）的反函数为y=g（x），a1＝1，a2＝g（a1），…，an＝g（an－1）；求数列｛an｝的通项公式，并求an；（Ⅲ）若x0∈0，），x1＝f（x0），f（x1）＝x0，求x0．解：（Ⅰ）函数图象：说明：图象过（0，）、（，1）、（1，0）点；在区间图3—40，］上的图象为上凸的曲线段；在区间，1］上的图象为直线段.（Ⅱ）f2（x）＝－2x＋2，x∈，1］的反函数为：y=1－，x∈0，1］．由已知条件得：a1＝1，a2＝1－a1＝1－，a3＝1－a2＝1－＋（）2，a4＝1＋（－）1＋（－）2＋（－）3，……∴an＝（－）0＋（－）1＋（－）2＋…＋（－）n－1即an＝1－（－）n］，∴.
