同步精选测试数列的递推公式(选学)(建议用时：45分钟)[基础测试]一、选择题1.已知数列{an}满足：a1＝－，an＝1－(n>1)，则a4等于()A.B.C.－D.【解析】a2＝1－＝5，a3＝1－＝，a4＝1－＝－.【答案】C2.数列2,4,6,8,10，…的递推公式是()A.an＝an－1＋2(n≥2)B.an＝2an－1(n≥2)C.a1＝2，an＝an－1＋2(n≥2)D.a1＝2，an＝2an－1(n≥2)【解析】由条件可发现，n＞2时，an－an－1＝2，即an＝an－1＋2，又a1＝2，所以C正确.【答案】C3.设an＝－3n2＋15n－18，则数列{an}中的最大项的值是()A.B.C.4D.0【解析】∵an＝－32＋，由二次函数性质得，当n＝2或3时，an最大，最大为0.【答案】D4.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an等于()【导学号：18082078】A.2＋lnnB.2＋(n－1)lnnC.2＋nlnnD.1＋n＋lnn【解析】由题意可知：an＋1＝an＋ln，∴an＋1－an＝ln(n＋1)－lnn，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝[lnn－ln(n－1)]＋[ln(n－1)－ln(n－2)]＋…＋(ln2－ln1)＋2＝2＋lnn.【答案】A5.已知在数列{an}中，a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，则a2016＝()【导学号：18082079】A.3B.－3C.6D.－6【解析】由题意知：a3＝a2－a1＝3，a4＝a3－a2＝－3，a5＝a4－a3＝－6，a6＝a5－a4＝－3，a7＝a6－a5＝3，a8＝a7－a6＝6，a9＝a8－a7＝3，a10＝a9－a8＝－3，…故知{an}是周期为6的数列，∴a2016＝a6＝－3.【答案】B二、填空题6.数列{an}中，若an＋1－an－n＝0，则a2016－a2015＝_____________.【解析】由已知得a2016－a2015－2015＝0，∴a2016－a2015＝2015.【答案】20157.数列{an}满足an＝4an－1＋3，且a1＝0，则此数列的第5项是________.【解析】因为an＝4an－1＋3，所以a2＝4×0＋3＝3，a3＝4×3＋3＝15，a4＝4×15＋3＝63，a5＝4×63＋3＝255.【答案】2558.在数列{an}中，对任意n∈N＋，有an＋1＝.若a1＝1，则a10＝________.【解析】法一：由已知，得a2＝＝＝，a3＝＝＝，a4＝＝＝，…，a10＝＝.法二：由an＋1＝，得＝＋1，所以＝＋1，＝＋1，＝＋1，…，＝＋1，所以－＝9.又因为a1＝1，所以＝10，所以a10＝.【答案】三、解答题9.已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N＋)，求通项an.【导学号：18082080】【解】将an＋1＝两边同时取倒数得：＝，则＝＋，即－＝，∴－＝，－＝，…，－＝，把以上这(n－1)个式子累加，得－＝.∵a1＝1，∴an＝(n∈N＋).10.已知数列{an}的通项公式an＝(n＋2)·，试求数列{an}的最大项.【导学号：18082081】【解】假设第n项an为最大项，则即解得即4≤n≤5，所以n＝4或5，故数列{an}中a4与a5均为最大项，且a4＝a5＝.[能力提升]1.已知数列{an}对任意的p，q∈N＋满足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，那么a10等于()A.－165B.－33C.－30D.－21【解析】由已知得a2＝a1＋a1＝2a1＝－6，∴a1＝－3.∴a10＝2a5＝2(a2＋a3)＝2a2＋2(a1＋a2)＝4a2＋2a1＝4×(－6)＋2×(－3)＝－30.【答案】C2.已知数列{an}满足an＋1＝若a1＝，则a2014的值为()A.B.C.D.【解析】由题意得，a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，故数列{an}是以3为周期的周期数列又2014＝671×3＋1，∴a2014＝a1＝.【答案】A3.对于数列{an}，若存在实数M，对任意的n∈N＋，都有an＞M，则称M为数列{an}的一个下界，数列{an}的最大下界称为下确界.已知数列{an}的通项公式为an＝，按此定义，则数列{an}的下确界是________.【解析】由题意，an＝＝1＋.∵＞0，∴对任意n∈N＋，都有an＞1，易知1是数列{an}的最大下界，故数列{an}的下确界是1.【答案】14.已知数列{an}，满足a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，求数列的通项公式.【导学号：18082082】【解】法一：由an－an－1＝＝－(n≥2)，则an－1－an－2＝－，…a3－a2＝－，a2－a1＝1－.将上式相加得an－a1＝1－(n≥2)，又a1＝1，∴an＝2－.a1＝1也适合，∴an＝2－(n∈N＋).法二：由已知得an－an－1＝－(n≥2)，则an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋(an－2－an－3)＋…＋(a2－a1)＋a1＝－＋－＋－＋…＋1－＋1＝2－(n≥2).a1＝1也适合，∴an＝2－(n∈N＋).
