高中数学 第二章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法练习 新人教A版必修5-新人教A版高一必修5数学试题VIP专享VIP免费

2.1数列的概念与简单表示法A级基础巩固一、选择题1．如图，下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为()A．an＝3n－1B．an＝3nC．an＝3n－2nD．an＝3n－1＋2n－3解析：这4个着色三角形的个数依次为1，3，9，27，都是3的指数幂．猜想数列的通项公式为an＝3n－1.答案：A2．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(1个分裂为2个)．经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成()A．511个B．512个C．1023个D．1024个解析：3小时含9个20分钟，分裂9次后细菌个数为29＝512.答案：B3．已知数列{an}的前n项的Sn＝n2－9n，第k项满足5＜an＜8，则k等于()A．9B．8C．7D．6解析：a1＝－8，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－9n－(n－1)2＋9(n－1)＝2n－10.由5＜ak＜8，得＜k＜9.所以k＝8.答案：B4．已知数列－1，，－，…，(－1)n，…，则它的第5项的值为()A.B．－C.D．－解析：易知，数列的通项公式为(－1)n·，当n＝5时，该项为(－1)5·＝－.答案：D5．已知数列1，，，，…，，…，则3是它的()A．第28项B．第24项C．第23项D．第22项解析：数列的通项公式为an＝.令＝3，所以n＝23.答案：C二、填空题6．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝3，an＋2＝an＋1＋，则a5＝________．解析：a3＝a2＋＝4，a4＝a3＋＝.a5＝a4＋＝.答案：7．数列{an}的通项公式是an＝2n＋1(n∈N*)，则37是这个数列的第________项．解析：由2n＋1＝37⇒n＝18.答案：1818．图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME—7)的会徽图案，会徽的主体图案是由图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为an＝________．图1图2解析：因为OA1＝1，OA2＝，OA3＝，…，OAn＝，…，所以a1＝1，a2＝，a3＝，…，an＝.答案：三、解答题9．已知数列的通项公式为an＝，试问和是不是它的项？如果是，是第几项？解：令＝，则n2＋3n－40＝0，解得n＝5或n＝－8，注意到n∈N*，故n＝－8舍去，所以是数列的第5项．令＝，则4n2＋12n－27＝0，解得n＝或n＝－，因为n∈N*，所以不是此数列中的项．10．(1)设数列{an}满足写出这个数列的前5项；(2)求数列{－2n2＋9n＋3}(n∈N*)的最大项．解：(1)由题意可知：a1＝1，a2＝1＋＝1＋＝2，a3＝1＋＝1＋＝，a4＝1＋＝1＋＝，a5＝1＋＝1＋＝.(2)令an＝－2n2＋9n＋3，所以an与n构成二次函数关系，因为an＝－2n2＋9n＋3＝－2＋，且n为正整数，所以当n取2时，an取得最大值13，所以数列{－2n2＋9n＋3}的最大项为13.B级能力提升1．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝(n∈N*)，则a2010＝()A．－B．0C.D．3解析：a1＝0，a2＝＝－.a3＝＝，a4＝＝0，a5＝＝－，…，由此可知，an＋3＝an.又2010＝3×670，所以a2010＝a3＝.答案：C2．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝.写出若干项，并归纳出通项公式an＝2______________．解析：a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝，a5＝，猜想：an＝.答案：3．已知数列{an}中，a1＝1，－＝，求数列{an}的通项公式．解：设bn＝，则b1＝1，bn＋1－bn＝，所以bn－bn－1＝(n≥2)，bn－1－bn－2＝，…，b2－b1＝，所以bn－b1＝×(n－1)，所以bn＝1＋＝(n≥2)，又当n＝1时，b1＝＝1，符合上式，所以bn＝＝(n∈N*)，所以an＝(n∈N*)．3