同步精选测试数列(建议用时：45分钟)[基础测试]一、选择题1.下面有四个结论，其中叙述正确的有()①数列的通项公式是唯一的；②数列可以看做是一个定义在正整数集或其子集上的函数；③数列若用图象表示，它是一群孤立的点；④每个数列都有通项公式.A.①②B.②③C.③④D.①④【解析】数列的通项公式不唯一，有的数列没有通项公式，所以①④不正确.【答案】B2.数列的通项公式为an＝则a2·a3等于()A.70B.28C.20D.8【解析】由an＝得a2＝2，a3＝10，所以a2·a3＝20.【答案】C3.若数列{an}的前4项依次是2,0,2,0，则这个数列的通项公式不能是()A.an＝1＋(－1)n＋1B.an＝1－cosnπC.an＝2sin2D.an＝1＋(－1)n－1＋(n－1)(n－2)【解析】根据各选项中的通项公式写出前4项，看是否为题干中的数列即可.当n＝3和4时，D选项不满足，故选D.【答案】D4.已知数列{an}的通项公式是an＝，那么这个数列是()【导学号：18082074】A.递增数列B.递减数列C.常数列D.摆动数列【解析】an＝＝1－，∴当n越大，越小，则an越大，故该数列是递增数列.【答案】A5.在数列－1,0，，，…，，…中，0.08是它的()A.第100项B.第12项C.第10项D.第8项【解析】∵an＝，令＝0.08，解得n＝10或n＝(舍去).【答案】C二、填空题6.已知数列{an}的通项公式an＝19－2n，则使an>0成立的最大正整数n的值为________.【解析】由an＝19－2n>0，得n<.∵n∈N＋，∴n≤9.【答案】97.已知数列{an}，an＝an＋m(a<0，n∈N＋)，满足a1＝2，a2＝4，则a3＝________.【导学号：18082075】【解析】∴a2－a＝2，∴a＝2或－1，又a<0，∴a＝－1.又a＋m＝2，∴m＝3，∴an＝(－1)n＋3，∴a3＝(－1)3＋3＝2.【答案】28.如图211是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构，第n个图中共有化学键________个.图211【解析】各图中的化学键个数依次是6,6＋5,6＋5＋5，….若把6看成是1＋5，则上述数列为1＋5,1＋5＋5,1＋5＋5＋5，…，于是第n个图有化学键(5n＋1)个.【答案】(5n＋1)三、解答题9.根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)，，，，…；(2)，2，，8，，…；(3)1,3,6,10,15，…；(4)7,77,777，….【导学号：18082076】【解】(1)注意前4项中有两项的分子为4，不妨把分子统一为4，即为，，，，…，于是它们的分母依次相差3，因而有an＝.(2)把分母统一为2，则有，，，，，…，因而有an＝.(3)注意6＝2×3,10＝2×5,15＝3×5，规律还不明显，再把各项的分子和分母都乘以2，即，，，，，…，因而有an＝.(4)把各项除以7，得1,11,111，…，再乘以9，得9,99,999，…，因而有an＝(10n－1).10.在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式是关于n的一次函数.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求a2016；(3)2016是否为数列{an}中的项？【解】(1)设an＝kn＋b(k≠0)，则有解得k＝4，b＝－2.∴an＝4n－2.(2)a2016＝4×2016－2＝8062.(3)由4n－2＝2016得n＝504.5∉N＋，故2016不是数列{an}中的项.[能力提升]1.已知数列{an}的通项公式an＝log(n＋1)(n＋2)，则它的前30项之积是()A.B.5C.6D.【解析】a1·a2·a3·…·a30＝log23×log34×log45×…×log3132＝××…×＝＝log232＝log225＝5.【答案】B2.已知数列{an}中，an＝n2－kn(n∈N＋)，且{an}单调递增，则k的取值范围是()A.(－∞，2]B.(－∞，3)C.(－∞，2)D.(－∞，3]【解析】an＋1－an＝(n＋1)2－k(n＋1)－n2＋kn＝2n＋1－k，又{an}单调递增，故应有an＋1－an>0，即2n＋1－k>0恒成立，分离变量得k<2n＋1，故只需k<3即可.【答案】B3.根据图212中的5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有________个点.图212【解析】观察图形可知，第n个图有n个分支，每个分支上有(n－1)个点(不含中心点)，再加中心上1个点，则有n(n－1)＋1＝n2－n＋1个点.【答案】n2－n＋14.已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N＋).(1)0和1是不是数列{an}中的项？如果是，那么是第几项？【导学号：18082077】(2)数列{an}中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项.【解】(1)令an＝0，得n2－21n＝0，∴n＝21或n＝0(舍去)，∴0是数列{an}中的第21项.令an＝1，得＝1，而该方程无正整数解，∴1不是数列{an}中的项.(2)假设存在连续且相等的两项是an，an＋1，则有an＝an＋1，即＝.解得n＝10，所以存在连续且相等的两项，它们分别是第10项和第11项.
