高中数学 第二章 平面向量 2.4 平面向量的坐标例题与探究（含解析）北师大版必修4-北师大版高一必修4数学试题VIP免费

2.4平面向量的坐标典题精讲例1(全国高考卷Ⅲ，理14)已知向量=（k,12),=(4,5),=(-k,10)，且A、B、C三点共线，则k=______________.思路解析：由于A、B、C三点共线，则∥,又=(4,5)-(k,12)=(4-k,-7)，=(4,5)-(-k,10)=(4+k,-5),所以有(4-k)(-5)-(4+k)(-7)=0，解得k=-.答案：-绿色通道：向量共线的几何表示与坐标表示形式不同但实质一样，在解决具体问题时要注意选择使用；三点共线问题通常化归为向量共线问题来解决.变式训练1(浙江高考卷，文4)已知向量a=（3，4），b=(sinα,cosα)，且a∥b，则tanα的值为（）A.B.-C.D.-思路解析：根据两个向量平行的坐标表示，转化为同角三角函数之间的关系.因为a∥b，且a=（3，4），b=（sinα,cosα)，所以3cosα-4sinα=0，则有3cosα=4sinα，显然cosα≠0.于是tanα==.答案：A变式训练2(全国高考卷Ⅱ，文1)已知向量a=（4，2），向量b=(x,3)，且a∥b，则x的值为（）A.9B.6C.5D.3思路解析：由题意，得12－2x=0，解得x=6.答案：B例2（经典回放）若向量a=（1，1），b=（1，-1），c=（-1，2），则c等于（）A.-a+bB.a-bC.-a-bD.-a+b思路解析：由于条件中只给出a、b、c的坐标，故可考虑从“数”的角度出发用a、b表示c.又a、b不共线，则一定存在实数x、y，使c=xa+yb，然后用向量坐标建立x、y的方程组.设c=xa+yb，即（-1，2）=（x，x）+（y，-y）=（x+y，x-y）.∴解得答案：B绿色通道：向量通过坐标形式可转化为数的范围内的运算，故可与代数中的方程、不等式函数等知识产生联系.本题的解答中运用了待定系数法，渗透了方程思想.之所以能用待定系数法是因为有平面向量基本定理作保障.变式训练1已知点A、B的坐标分别为（2，-2）、（4，3），向量p=（2k－1，7），且p∥，则k的值是（）A.B.C.-D.思路解析：∵A（2，－2），B（4，3），∴=（2，5）.又p∥，∴14-5（2k-1）=0，即k=.答案：B变式训练2已知四边形ABCD是平行四边形，其顶点A、B、C的坐标分别是A（-2，1）、B（-1，3）、C（3，4），求D点的坐标.思路分析：欲求D点坐标可设出D点坐标，然后建立关于坐标的方程组.解：设D点坐标为（x，y），由题意，可知=（1，2），=（3-x，4-y）.∵四边形为平行四边形，∴=，即即D点坐标为（2，2）.问题探究问题已知平面直角坐标系内两定点A、B，点P是线段所在直线上某一点，试用向量法探索点P的坐标.导思：线段的两个端点和其上的一个点共线，由此转化为向量共线的问题.探究：在数学上，我们把分线段成两部分的点称为定比分点，当=λ时，称点P分有向线段的比为λ.∴+λ=0，∴(-)+λ(-)=0，∴=.如图2-4-1所示，如果在直角坐标系中，设O为坐标原点，P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2)图2-4-1因为=λ，所以+λ=0.于是有(-)+λ(-)=0,即(1+λ)=+λ.所以=.则有(x,y)=,即所以P点的坐标为(,)，此公式就叫做线段的定比分点的坐标公式.特别是当λ=1即点P是线段的中点时，点P的坐标为(,)，此坐标又称为线段的中点坐标公式.下面探讨其应用.例1：设△ABC的重心（三条中线的交点）为G，并且A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),求G的坐标.思路分析：求出BC中点坐标，再用定比分点的坐标公式得G的坐标.解：设点G(x,y)，BC的中点为D，由题意得,则即∴G的坐标是().上面的结论称为三角形重心坐标公式.可以作为结论直接应用.例2：已知M（2，7）和A（6，3），若点P在直线上，且=，求点P的坐标.思路分析：有三种思路：利用定比分点的坐标公式，利用线段的长度关系，待定系数法.解法一（利用定比分点的坐标公式）：设P（x,y)，由定比分点坐标公式得x=,y=.即P(3,6).解法二（利用两点间的距离公式）：设P(x,y)，由题意，得||=4||,||=||.则有解方程组得即P(3,6).解法三：设P(x,y)，则=(2-x,7-y),=(x-6,y-3).∵=，∴(2-x,7-y)=(x-6,y-3).∴解方程组，得x=3,y=6，即P(3,6).通过上面三种解法可见，利用定比分点的坐标公式解决有关的线段问题，非常方便、快捷，应引起我们重视.