高中数学 第二章 平面向量 2.4 平面向量的坐标课后篇巩固探究（含解析）北师大版必修4-北师大版高一必修4数学试题VIP免费

§4平面向量的坐标课后篇巩固探究A组基础巩固1.设向量a=(1,2),b=(-3,5),c=(4,x),若a+b=λc(λ∈R),则λ+x的值是()A.-B.C.-D.答案C2.已知向量a=(1,2),b=(2,3),c=(3,4),且c=λ1a+λ2b,则λ1,λ2的值分别为()A.-2,1B.1,-2C.2,-1D.-1,2解析∵c=λ1a+λ2b,∴(3,4)=λ1(1,2)+λ2(2,3).∴解得λ1=-1,λ2=2.答案D3.已知点A(1,3),B(4,-1),则与同方向的单位向量是()A.B.C.D.解析易得=(4-1,-1-3)=(3,-4),所以与同方向的单位向量为(3,-4)=,故选A.答案A4.在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是()A.e1=(0,0),e2=(1,2)B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)解析设a=k1e1+k2e2,A选项,∵(3,2)=(k2,2k2),∴无解.B选项,∵(3,2)=(-k1+5k2,2k1-2k2),∴解得故B中的e1,e2可把a表示出来.同理,C,D选项同A选项,无解.答案B5.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2),若表示向量4a,4b-2c,2(a-c),d的有向线段首尾相连能构成四边形,则向量d=()A.(2,6)B.(-2,6)C.(2,-6)D.(-2,-6)解析设d=(x,y),由题意知4a=(4,-12),4b-2c=(-6,20),2(a-c)=(4,-2),易知4a+4b-2c+2(a-c)+d=0,解得x=-2,y=-6,所以d=(-2,-6).答案D6.在▱ABCD中,若=(1,3),=(2,5),则=,=.解析=(1,2),=(0,-1).答案(1,2)(0,-1)7.已知e1=(1,2),e2=(-2,3),a=(-1,2),以e1,e2为基底将a分解为a1e1+a2e2的形式为.解析设a=a1e1+a2e2(a1,a2∈R),则(-1,2)=a1(1,2)+a2(-2,3)=(a1-2a2,2a1+3a2),所以解得所以a=e1+e2.答案a=e1+e28.设=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0),a>0,b>0,O为坐标原点,若A,B,C三点共线,则a+的值是.解析∵A,B,C三点共线,∴共线,∴存在实数λ,使(a-1,1)=λ(-b-1,2),∴解得λ=,a+.答案9.已知边长为2的等边三角形ABC,顶点A在坐标原点,AB边在x轴上,点C在第一象限,D为AC的中点,分别求向量的坐标.解如图,等边三角形ABC的边长为2,则顶点A(0,0),B(2,0),C(2cos60°,2sin60°),∴C(1,),∴D,∴=(2,0),=(1,),∴=(1-2,-0)=(-1,),.10.设A(x,1),B(2x,2),C(1,2x),D(5,3x),当x为何值时,共线且方向相同?此时点A,B,C,D能否在同一直线上?解设点O为坐标原点,则根据题意有=(2x,2)-(x,1)=(x,1),=(1,2x)-(2x,2)=(1-2x,2x-2),=(5,3x)-(1,2x)=(4,x).由共线,得x2-4=0,即x=±2.又方向相同,∴x=2.此时,=(2,1),=(-3,2),而2×2-1×(-3)=7≠0,∴不共线,∴A,B,C三点不在同一直线上.∴点A,B,C,D不在同一直线上.11.已知点O是△ABC内一点,∠AOB=150°,∠BOC=90°,设=a,=b,=c且|a|=2,|b|=1,|c|=3,求向量的坐标.解(1)设点A(x,y),B(x0,y0),∵|a|=2,且∠AOx=45°,∴x=2cos45°=,且y=2sin45°=.又|b|=3,∠xOB=90°+30°=120°,∴x0=3cos120°=-,y0=3sin120°=.故a==(),b=.(2)如图所示,以点O为原点,所在直线为x轴的非负半轴,建立平面直角坐标系.∵||=1,∠AOB=150°,∴B(-cos30°,sin30°),∴B.∵||=3,∴C(-3sin30°,-3cos30°),即C.又A(2,0),∴-(2,0)=,.B组能力提升1.设m=(a,b),n=(c,d),规定两向量m,n之间的一个运算“􀱋”为m􀱋n=(ac-bd,ad+bc),若已知p=(1,2),p􀱋q=(-4,-3),则q等于()A.(-2,1)B.(2,1)C.(2,-1)D.(-2,-1)解析设q=(x,y),由题设中运算法则,得p􀱋q=(x-2y,y+2x)=(-4,-3),即解得故q=(-2,1).答案A2.已知向量a=(1,3),b=(m,2m-3),平面上任意向量c都可以唯一地表示为c=λa+μb(λ,μ∈R),则实数m的取值范围是()A.(-∞,0)∪(0,+∞)B.(-∞,3)C.(-∞,-3)∪(-3,+∞)D.[-3,3)解析因为平面上任意向量c都可以用a,b唯一表示,所以a,b是平面向量的一组基底,即a,b为不共线的非零向量,则3m≠2m-3,即m≠-3,故选C.答案C3.平面上有A(2,-1),B(1,4),D(4,-3)三点,点C在直线AB上,且,连接DC延长至点E,使||=|,则点E的坐标为.解析∵,∴A为BC中点,∴点C的坐标为(3,-6).又||=|,且E在DC的延长线上,∴=-.设E(x,y),则(x-3,y+6)=-(4-x,-3-y).于是解得故点E坐标是.答案4.已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),若+λ(λ∈R),试求当点P在第三象限时λ的取值范围.解由题意得=(3+5λ,1+7λ).设点P(x,y),则=(x-2,y-3).于是(x-2,y-3)=(3+5λ,1+7λ),所以又点P在第三象限,所以解得λ<-1.所以λ的取值范围为(-∞,-1).5.导学号93774073如图所示,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB的交点P的坐标.解(方法一)设=t=t(4,4)=(4t,4t),则=(4t,4t)-(4,0)=(4t-4,4t),=(2,6)-(4,0)=(-2,6).由共线的条件知(4t-4)×6-4t×(-2)=0,解得t=,∴=(4t,4t)=(3,3),∴点P的坐标为(3,3).(方法二)设P(x,y),则=(x,y),∵共线,=(4,4),∴4x-4y=0.①又=(x-2,y-6),=(2,-6),且向量共线,∴-6(x-2)+2(6-y)=0.②解由①②组成的方程组,得x=3,y=3,∴点P的坐标为(3,3).6.导学号93774074已知向量u=(x,y)与向量v=(y,2y-x)的对应关系可用v=f(u)表示.(1)证明:对于任意向量a,b及常数m,n,恒有f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立;(2)设a=(1,1),b=(1,0),求向量f(a)及f(b)的坐标;(3)求使f(c)=(3,5)成立的向量c.(1)证明设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2).则f(mx1+nx2,my1+ny2)=(my1+ny2,2my1+2ny2-mx1-nx2),又mf(a)=(my1,2my1-mx1),nf(b)=(ny2,2ny2-nx2),所以mf(a)+nf(b)=(my1+ny2,2my1+2ny2-mx1-nx2),所以f(ma+nb)=mf(a)+nf(b).(2)解f(a)=(1,1),f(b)=(0,-1).(3)解设向量c=(x3,y3),则解得所以c=(1,3).