3.2平面向量基本定理A组1.设e1,e2是不共线的向量,则下面四组向量中,能作为基底的组数有()①e1和e1+e2;②e1-2e2和e2-2e1;③e1-2e2和4e2-2e1;④2e1+e2和e1-e2.A.1组B.2组C.3组D.4组解析:看每一组的两个向量是否共线,若共线则不能作为基底,若不共线则可作为基底,∵4e2-2e1=-2(e1-2e2),∴第③组中的两个向量共线,不能作为基底.答案:C2.已知e1,e2为平面内所有向量的一组基底,λ∈R,a=e1+λe2,b=2e1,则a与b共线的条件为()A.λ=0B.e2=0C.e1∥e2D.e1∥e2或λ=0解析:由于e1,e2不共线,而a与b共线,所以λ=0.答案:A3.设a,b为平面内所有向量的一组基底,已知向量=a-kb,=2a+b,=3a-b,若A,B,D三点共线,则实数k的值等于()A.2B.-2C.10D.-10解析:=(a-kb)+(-2a-b)+(3a-b)=2a-(k+2)b.∵A,B,D三点共线,∴存在实数λ使得=λ,即a-kb=λ[2a-(k+2)b]=2λa-λ(k+2)b.∵a,b为基底向量,∴解得λ=,k=2.答案:A4.已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC的中点,且2=0,那么()A.B.=2C.=3D.2解析:由2=0得2=-(),因为D是BC的中点,所以=2,于是2=-2,即.答案:A5.在△ABC中,点D在BC边上,且=2=r+s,则r+s=()A.B.C.-3D.0解析:由题意得)=,因为=r+s,所以r=,s=-⇒r+s=0,故选D.答案:D6.若e1,e2为平面内所有向量的一组基底,且a=3e1-4e2,b=6e1+ke2不能作为一组基底,则k的值为.解析:当a∥b时,a,b不能作为一组基底,故存在实数λ,使得a=λb,即3e1-4e2=λ(6e1+ke2),则6λ=3,且kλ=-4,解得λ=,k=-8.答案:-87.导学号03070089在▱ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F,若=a,=b,用a,b表示.解:如下图,.由题意知,DE∶BE=1∶3=DF∶AB,∴.∴)=a+b+a+b.8.导学号03070090如图所示,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,=a,=b.(1)用a,b表示;(2)求证:B,E,F三点共线.(1)解:如图所示,延长AD到G,使=2,连接BG,CG,得到平行四边形ABGC,则=a+b,(a+b),(a+b),b,(a+b)-a=(b-2a),b-a=(b-2a).(2)证明:由(1)知,,∴共线.又有公共点B,∴B,E,F三点共线.B组1.已知平面内有一点P及一个△ABC,若,则()A.点P在△ABC外部B.点P在线段AB上C.点P在线段BC上D.点P在线段AC上解析:∵,∴=0,即=0,∴=0,∴2,∴点P在线段AC上.答案:D2.若O是平面内一定点,A,B,C是平面内不共线的三点,若点P满足+λ(λ∈(0,+∞)),则点P的轨迹一定通过△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心解析:设BC中点为M,则,则有+λ,即=λ(λ∈(0,+∞)),∴M,P,A三点共线.∴点P的轨迹所在直线一定通过△ABC的重心.答案:C3.(2015浙江嘉兴桐乡调研)已知平行四边形ABCD中,E为CD的中点,=x=y,其中x,y∈R,且均不为0,若,则=.解析:=y-x,由=λ(λ≠0),∴y-x=λ()=λ,∴.答案:4.在△ABC所在平面上有一点P,满足+4,则△PBC与△PAB的面积比为.解析:+4,所以2,即点P在AC边上,且AP=2PC,所以△PBC与△PAB的面积比为1∶2.答案:1∶25.导学号03070091设e1,e2是两个不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.(1)证明:a,b可以作为一组基底;(2)以a,b为基底,求向量c=3e1-e2的分解式.(1)证明:假设a,b共线,则a=λb(λ∈R),则e1-2e2=λ(e1+3e2).由e1,e2不共线,得所以λ不存在,故a,b不共线,即a,b可以作为一组基底.(2)解:设c=ma+nb(m,n∈R),则3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)=(m+n)e1+(-2m+3n)e2.所以解得故c=2a+b.6.如图所示,在△OAB中,=a,=b,M,N分别是OA,OB上的点,且a,b.设AN与BM交于点P,用向量a,b表示.解:设=m=n,因为,所以+ma+m(1-m)a+mb,+n(1-n)b+na.因为a与b不共线,所以解得所以a+b.7.导学号03070092已知A,B,C三点不共线,O为平面上任意一点,证明若存在实数p,q,r,使得p+q+r=0,且若p+q+r=0,则必有p=q=r=0.证明:如右图,由题意可得r=-(p+q).∴p+q-(p+q)=0,即p()=q(),p=q,∴p+q=0=0·+0·.由平面向量的基本定理可知,其分解是唯一的,∴p=0,q=0,p+q=0.∵p+q+r=0,故有p=q=r=0.
